最初に、${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式の復習をしておこう。
${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式は定積分の計算を簡単にする方法で、

公式

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3}$

だった。

これだけじゃ分かりにくいので、ちょっと補足しておく。

図のような、二次関数と直線、または二次関数と二次関数で囲まれたオレンジ色の部分の面積$S$が
$S=a{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x^2+bx+c)dx}$
の形で表せるときを考える。

この式は必ず
$S=a{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx}$
と因数分解でき、さらに${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式によって
${\displaystyle S=a\cdot \{-\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3\}}$
とかける。

この${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使えると、積分の計算がとても楽になる。なので、${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使える形に持ってゆくことがポイントだ。

問題を解く前に、まずグラフを描こう。

$C$の式は
$y={\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-1}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}(x^2-x-2)}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}(x+1)(x-2)}$式Ａ
と因数分解できるので、$C$は$x$軸と$(-1,0)(2,0)$で交わる。

$C$の式と$\ell$の式を連立方程式にして解くと、式Ａより、
${\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)(x-2)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}$

途中式

${\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)(x-2)=\frac{1}{2}(x+1)}$
$(x+1)(x-2)-(x+1)=0$
$(x+1)\{(x-2)-1\}=0$

$(x+1)(x-3)=0$
となるので、$C$と$\ell$は$x=-1,3$で交わる。

以上より、$C$と$\ell$のグラフは図Ａのようになる。

グラフが出来たところで、問題を解こう。

面積を求める図形は、図Ｂの赤い線で囲んだ範囲だ。この面積を$S$とする。

普通に積分して解くと、こんな感じになる。

$S={\displaystyle {\int }_1^3\{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-1)\}dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle ={\int }_1^3\frac{1}{2}\{(x+1)-(x^2-x-2)\}dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^3(x+1-x^2+x+2)dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^3(-x^2+2x+3)dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{[-\frac{x^3}{3}+x^2+3x]}_1^3}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}[-x^3+3x^2+9x{]}_1^3}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}\{(-3^3+3\cdot 3^2+9\cdot 3)-(-1+3+9)\}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{6}(27-11)}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{16}{6}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{8}{3}}$

解答${\displaystyle \frac{8}{3}}$

次に、面積を求める図形を図Ｃのように分解してみよう。

緑色の部分の面積を$T$，空色の部分の面積を$U$とすると、問題の面積$S$は
$S=T+U$式Ｂ
である。

$T$は底辺$1-(-1)=2$，高さ$3-1=2$の三角形の面積なので、
$T={\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 2=2}$式Ｃ

$U$は積分して求めるのだけど、${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使える。
図Ｃの緑の直線を$m$とし、グラフの式を$y=ax+b$とする。$a$，$b$の値を求める必要はない。

$U$は$C$と$m$に囲まれた部分の面積なので、
$U={\displaystyle {\int }_1^3\{(ax+b)-(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-1)\}dx}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle ={\int }_1^3\frac{1}{2}\{(2ax+b)-(x^2-x-2)\}dx}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^3(2ax+b-x^2+x+2)dx}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^3\{-x^2+(2a+1)x+(2+b)\}dx}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$${\displaystyle {\int }_1^3\{x^2-(2a+1)x-(2+b)\}dx}$
この式の赤い部分には${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使える。よって、
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \{-\frac{1}{6}(3-1{)}^3\}}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2^3}{2\cdot 6}}$
$U{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$式Ｄ

式Ｂ，Ｃ，Ｄより、
$S=2+{\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{8}{3}}$
である。

解答${\displaystyle \frac{8}{3}}$

アドバイス

今回は積分区間の両端が整数だったので、解法１と解法２であまり計算量の差が出なかった。
しかし、区間端が分数なんかだったりすると、解法１のように真っ正直に解くと、大変な計算をするはめになることが多い。
なので、二次関数や直線で囲まれた面積を求める場合には、${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使える形にもってゆけないか、考える習慣を身につけてほしい。

実はこの問題に限っては、もっと簡単な解法がある。
一応解説するけれど、使える場合が非常に限られるので、センター試験だけ解ければいいひとは読まなくていいです。

図Ｄを見てもらうと、$S$の左端は直線$x=1$だけど、この$x=1$は$C$と$\ell$の２つの交点の$x$座標のちょうど真ん中だ。二次関数と直線に囲まれた図形の場合に限り、このような直線は図形の面積を二等分する。つまり、図Ｄの赤で囲んだ部分の面積は、オレンジの部分の面積の半分である。

これが分かれば話は簡単。
オレンジの部分の面積を$V$とすると、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}V}$
なので、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}{\int }_{-1}^3\{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-1)\}dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^3\frac{1}{2}\{(x+1)-(x^2-x-2)\}dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{\int }_{-1}^3(x+1-x^2+x+2)dx}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$${\displaystyle {\int }_{-1}^3(x^2-2x-3)dx}$
この式の赤い部分には${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使える。よって、
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cdot \{-\frac{1}{6}\{3-(-1){\}}^3\}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4^3}{4\cdot 6}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{8}{3}}$
である。

解答${\displaystyle \frac{8}{3}}$

アドバイス

この方法は、
図形が2次関数と直線で出来ていること 積分範囲が、図形の$x$方向の真ん中から端っこまで のときしか使えないことに注意してほしい。