①式の真数条件から、
$x^2-2x>0$
$x(x-2)>0$
となるので、
$x<0$，$2<x$式Ａ
である。

${\log }_{3}3=1$なので、①式は
${\log }_3(x^2-2x)<{\log }_{3}3$
と書ける。
底の３は１より大きいので、これはさらに
$x^2-2x<3$
となる。

これを解いて、
$x^2-2x-3<0$
$(x+1)(x-3)<0$
$-1<x<3$式Ｂ
である。

式Ａと式Ｂの共通部分が解なので、求める解は
$-1<x<0$，$2<x<3$式Ｃ
となる。

解答ア：１, イ：０, ウ：２, エ：３

$y=2x^2+2x+1$式Ｄ
とおく。

このグラフの頂点は、
$y=2(x^2+x)+1$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{y}& =2\{x^2+x+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\}+1\\ & =2\{x^2+x+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\}-2\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1\end{array}$$

$\phantom{y}=2{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$
より、
$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$
である。
これは式Ｃの定義域に含まれる。

式Ｄの範囲を求めると、
$x=-1$のとき、
$$\begin{array}{rl}y& =2(-1{)}^2+2(-1)+1\\ & =1\end{array}$$ $x=0$のとき、
$$\begin{array}{rl}y& =2\cdot 0+2\cdot 0+1\\ & =1\end{array}$$ $x=2$のとき、
$$\begin{array}{rl}y& =2\cdot 2^2+2\cdot 2+1\\ & =13\end{array}$$ $x=3$のとき、
$$\begin{array}{rl}y& =2\cdot 3^2+2\cdot 3+1\\ & =25\end{array}$$

以上より、式Ｄのグラフを描くと図Ａができる。

式Ｄで$y=2x^2+2x+1$とおいたので、問題の方程式
$u={\log }_2(2x^2+2x+1)$
は
$u={\log }_{2}y$
となる。
これを変形して、
$y=2^u$式Ｅ
となる。
この$u$が整数なので、$y$が２の整数乗になるときを考える。

図Ａより、$2<x<3$のとき$13<y<25$なので、この範囲で２の整数乗を探すと、
$13<2^4<25$
が見つかる。
よって、
$y=2^4$式Ｆ
$y$をもとにもどして、
$$\begin{array}{rl}2x^2+2x+1& =2^4\\ & =16\mathrm{②}\end{array}$$ である。

解答オ：１, カ：６

このとき、式Ｅ$=$式Ｆより、
$2^u=2^4$
$u=4$
である。

解答キ：４

このときの$x$は、②式を解いて、
$2x^2+2x+1=16$
$2x^2+2x-15=0$
解の公式より、
$x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot (-15)}}{2\cdot 2}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{x}& ={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2\{1-2\cdot (-15)\}}}{2\cdot 2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-2\pm 2\sqrt{1+30}}{2\cdot 2}}\end{array}$$

$\phantom{x}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{31}}{2}}$
このうち$2<x<3$の範囲に入るのは
$x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{31}}{2}}$
である。

解答ク：３, ケ：１

図Ａより、$-1<x<0$のとき${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq y<1$なので、この範囲で２の整数乗を探すと、
${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq 2^{-1}<1$
が見つかる。
よって、
$y=2^{-1}$式Ｇ
$y$をもとにもどして、
$$\begin{array}{rl}2x^2+2x+1& =2^{-1}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{③}\end{array}$$ である。

解答コ：１, サ：２

このとき、式Ｅ$=$式Ｇより、
$2^u=2^{-1}$
$u=-1$
である。

解答シ：－, ス：１

このときの$x$は、$y=2^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるときの$x$なので、図Ａより
$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
である。

解答セ：－, ソ：１, タ：２

別解

上の解法の方がおすすめだけど、セソタは②式を解いても求められる。

③式を解いて、
$2x^2+2x+1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

途中式

$4x^2+4x+2=1$
$4x^2+4x+1=0$
$(2x+1{)}^2=0$

$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
である。

解答セ：－, ソ：１, タ：２