$G$が$x$軸と共有点を持たないので、判別式を考えよう。
$D=(6-2a{)}^2-4\cdot a\cdot 4<0$
となればよい。
これを計算して、
$2^2(3-a{)}^2-4\cdot a\cdot 4<0$

途中式

$(3-a{)}^2-4a<0$
$a^2-6a+9-4a<0$
$a^2-10a+9<0$
$(a-1)(a-9)<0$

$1<a<9$②
である。

解答ア：１, イ：９

アドバイス

方程式$a{x}^2+bx+c=0$の$b$が偶数のとき、$b=2n$とおいて、
${\displaystyle \frac{D}{4}}=n^2-ac$
とする式もあるけど、上の計算のように因数分解するとすぐに同じ形になるので、この式は憶える必要はない。

次は$G$の頂点だ。①式を平方完成するのは面倒なので、次の式を使おう。

復習

$y=a{x}^2+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
だった。

なので、$G$の頂点の$x$座標は、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{6-2a}{2a}}& ={\displaystyle \frac{3-a}{a}}\mathrm{式}Ａ\\ & ={\displaystyle \frac{3}{a}}-1\end{array}$$ である。

解答ウ：３, エ：１

$y$座標は、式Ａを①式に代入して、
$y=a{\left({\displaystyle \frac{3-a}{a}}\right)}^2-(6-2a)\left({\displaystyle \frac{3-a}{a}}\right)+4$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{y}& ={\displaystyle \frac{a(3-a{)}^2}{a^2}}-2(3-a)\left({\displaystyle \frac{3-a}{a}}\right)+4\\ & ={\displaystyle \frac{1}{a}}(3-a{)}^2-{\displaystyle \frac{2}{a}}(3-a{)}^2+4\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{a}}(3-a{)}^2+4\\ & ={\displaystyle \frac{-9+6a-a^2}{a}}+4\\ & =-{\displaystyle \frac{9}{a}}+6-a+4\end{array}$$

$\phantom{y}=-a+10-{\displaystyle \frac{9}{a}}$
である。

アドバイス

$y$座標を求めるのに、頂点の$x$座標は回答の形の${\displaystyle \frac{3}{a}}-1$ではなく、その前の段階の${\displaystyle \frac{3-a}{a}}$を使った。
①式の$x$の係数が$(6-2a)=2(3-a)$なので、近い形を使えば因数分解がしやすいためである。
値を式に代入する場合、センター試験では一般的に、解答の形を使うと面倒な計算になることが多い。

解答オ：－, カ：１, キ：０, ク：９

頂点が動く場合の放物線の最小値の問題。
場合分けは問題文の中で指定されているので、あとは流れに乗って解こう。

$G$は下に凸のグラフで、$k$は頂点の$x$座標。
$-1\leqq x\leqq 0$における最小値が頂点なので、定義域に頂点が含まれる。
よって、
$-1\leqq k\leqq 0$式Ｄ
のとき。
これを解けば、タの答である。

式Ｄを
$-1\leqq k$と$k\leqq 0$
に分けて計算しよう。
$-1\leqq k$
に式Ｂを代入して、
$-1\leqq {\displaystyle \frac{1}{a}}-1$
$0\leqq {\displaystyle \frac{1}{a}}$
両辺を$a$倍すると、$0<a$なので、
$0\leqq 1$
常に正しいのでOk。
$k\leqq 0$式Ｄ'
に式Ｂを代入して、
${\displaystyle \frac{3}{a}}-1\leqq 0$
${\displaystyle \frac{3}{a}}\leqq 1$
両辺を$a$倍すると、$0<a$なので、
$3\leqq a$式Ｄ''

式Ｄ''と②の範囲を合わせて、
$3\leqq a<9$
が定義域に頂点が含まれる場合である。

解答タ：３

$1<a\leqq 3$
を
$1<a$と$a\leqq 3$に分けて$k$（つまり頂点の$x$座標）の範囲を調べよう。

$1<a$から$k$の範囲を求めるのは、上で②a式から②a''式を求めたのと同じ計算なので、
$k<2$ $a\leqq 3$
この両辺を$a$で割ると、$0<a$なので、
$1\leqq {\displaystyle \frac{3}{a}}$
両辺から$1$を引いて、
$0\leqq {\displaystyle \frac{3}{a}}-1$
この右辺は$k$なので、
$0\leqq k$
実はこの部分は、計算しなくても式Ｄ'～式Ｄ''の計算から予想できる。

以上より、$1<a\leqq 3$のとき
$0\leqq k<2$
なので、$G$の頂点は定義域の右にある。
よって、グラフは図Ａのようになる。

図Ａより、最小値は定義域の右端で、$x=0$のとき。

解答チ：０

最小値は①式に$x=0$を代入して、$4$である。

解答ツ：４

頂点が動く場合の放物線の最大値の問題だけど、この問題は場合分けをしなくても解ける。

$G$は下に凸の放物線なので、最大値は定義域の左端の$x=-1$のときか、右端の$x=0$のとき。
でも、ツを求めたとき気づいたかもしれないけれど、$x=0$のときは$a$の値に関わらず$y=4$であるので、$M>4$になることはない。
よって、$M>4$となるのは$x=-1$で最大になるときでないとムリ。

解答テ：－, ト：１

最大値は、①式に$x=-1$を代入して、
$$\begin{array}{rl}M& =a(-1{)}^2-(6-2a)(-1)+4\\ & =a+6-2a+4\\ & =-a+10\end{array}$$ である。

解答ナ：－, ニ：１, ヌ：０

この最大値$M$が$M>4$となるのは、
$-a+10>4$
$a<6$

これと②式をあわせて、
$1<a<6$
のときである。

解答ネ：６

アドバイス

ネの部分で、「あれ？$x=-1$で最大になるためには、頂点の$x$座標が定義域の中央より右じゃないといけない、つまり$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k$ってのは考えなくていいの？」という疑問が出そうだけど。
上の解説では$x=-1$のときに$y>4$になる範囲を求めたけど、それは、$x=0$のときの$y$よりも$x=-1$のときの$y$の方が大きい範囲を求めたのと同じこと。この計算で$x=-1$のときに最大になる条件も満たしてるので、$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k$は考えなくてもいいです。