この問題では、漸化式のいろんなパターンを使う。
なので、最初にちょっと復習をしておこう。

$\{a_n\}$は公比が$3$の等比数列なので、初項を$a_1$として、
$a_n=a_1\cdot 3^{n-1}$
とかける。

これに$n=2$，$a_2=162$を代入すると
$162=a_1\cdot 3^{2-1}$
$$\begin{array}{rl}{a}_1& ={\displaystyle \frac{162}{3}}\\ & =54\end{array}$$ となる。

よって、一般項$a_n$は
$a_n=54\cdot 3^{n-1}$
である。

解答ア：５, イ：４, ウ：３

$b_1={\displaystyle \frac{a_1}{2}}$
に$a_1=54$を代入して、
$$\begin{array}{rl}{b}_1& ={\displaystyle \frac{54}{2}}\\ & =27\mathrm{式}Ａ\end{array}$$

また、①式に$a_n$の一般項を代入して、
$b_{n+1}=3b_n+54\cdot 3^{n-1}$①'

ここで、
$x_n={\displaystyle \frac{b_n}{3^n}}$式Ｂ
なので、
$b_n=3^n{x}_n$ $b_{n+1}=3^{n+1}{x}_{n+1}$

これを①'式に代入すると、
$3^{n+1}{x}_{n+1}=3\cdot 3^n{x}_n+54\cdot 3^{n-1}$
両辺を$3^{n+1}$で割って、
$x_{n+1}=x_n+{\displaystyle \frac{54}{3^2}}$
$x_{n+1}=x_n+6$式Ｃ
である。

解答エ：６

最初に復習したように、式Ｃは漸化式の基本の形の１つめなので、$\{x_n\}$は公差$6$の等差数列。
初項は、式Ｂに式Ａを代入して、
$$\begin{array}{rl}{x}_1& ={\displaystyle \frac{27}{3^1}}\\ & =9\end{array}$$ より、$9$である。
よって、一般項$x_n$は、
$$\begin{array}{rl}{x}_n& =x_1+(n-1)d\\ & =9+(n-1)\cdot 6\\ & =6n+3\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ となる。

式Ｂより$x_n={\displaystyle \frac{b_n}{3^n}}$なので、
${\displaystyle \frac{b_n}{3^n}}=6n+3$
$$\begin{array}{rl}{b}_n& =3^n(6n+3)\\ & =3^{n+1}(2n+1)\mathrm{式}Ｅ\end{array}$$ である。

また、${\displaystyle \frac{b_{10}}{3^{10}}}=x_{10}$は、式Ｄの$x_n$の一般項より、
$$\begin{array}{rl}{x}_{10}& =6\cdot 10+3\\ & =63\end{array}$$ である。

解答オ：６, カ：３

①式の$n$に$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$と代入して、全部たしてみよう。

	$b_2$	$=$	$3b_1$	$+$	$a_1$
	$b_3$	$=$	$3b_2$	$+$	$a_2$
	$b_4$	$=$	$3b_3$	$+$	$a_3$
		$⋮$
$+)$	$b_{n+1}$	$=$	$3b_n$	$+$	$a_n$
	$b_2\text{～}{b}_{n+1}\text{の和}$	$=$	$3(b_1\text{～}{b}_n\text{の和})$	$+$	$a_1\text{～}{a}_n\text{の和}$

式Ｆ

ここで、$b_1=27$，${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{b}_k}$なので、
式Ｆの左辺は
$$\begin{array}{rl}{b}_2\text{～}{b}_{n+1}\text{の和}& =\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-b_1\\ & =S_{n+1}-27\end{array}$$

式Ｆの右辺の
$$\begin{array}{rl}{b}_1\text{～}{b}_n\text{の和}& =\sum _{k=1}^n{b}_k\\ & =S_n\end{array}$$ ${\displaystyle a_1\text{～}{a}_n\text{の和}=\sum _{k=1}^n{a}_k}$
となる。

これを式Ｆに代入して、
${\displaystyle S_{n+1}-27=3S_n+\sum _{k=1}^n{a}_k}$
である。

解答キ：２, ク：７

この式に$S_{n+1}=S_n+b_{n+1}$を代入して、
${\displaystyle S_n+b_{n+1}-27=3S_n+\sum _{k=1}^n{a}_k}$
${\displaystyle 2S_n=-\sum _{k=1}^n{a}_k+b_{n+1}-27}$式Ｇ

ここで、$a_n=54\cdot 3^{n-1}$なので、
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n{a}_k& =\sum _{k=1}^{n}54\cdot 3^{k-1}\\ & =54\sum _{k=1}^n{3}^{k-1}\\ & =54\cdot {\displaystyle \frac{1-3^n}{1-3}}\\ & =-27(1-3^n)\\ & =-3^3(1-3^n)\end{array}$$

また、$b_n=3^{n+1}(2n+1)$なので、
$$\begin{array}{rl}{b}_{n+1}& =3^{n+2}\{2(n+1)+1\}\\ & =3^{n+2}(2n+3)\end{array}$$

これを式Ｇに代入して、
$2S_n=-\{-3^3(1-3^n)\}+3^{n+2}(2n+3)-3^3$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{2S_n}& =3^3(1-3^n)+3^{n+2}(2n+3)-3^3\\ & =3^3\{(1-3^n)+3^{n-1}(2n+3)-1\}\\ & =3^3(1-3^n+3^{n-1}\cdot 2n+3^n-1)\\ & =3^3(3^{n-1}\cdot 2n)\\ & =3^{n+2}\cdot 2n\end{array}$$

$S_n=3^{n+2}\cdot n$式Ｈ
であるから、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{S_{10}}{3^{10}}}& ={\displaystyle \frac{3^{10+2}\cdot 10}{3^{10}}}\\ & =3^2\cdot 10\\ & =90\end{array}$$ である。

解答ケ：９, コ：０

$y_n={\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}$なので、②式を変形して${\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}$の形を作ろう。
②式の両辺を$3^{n+1}$で割ると、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{c_{n+1}}{3^{n+1}}}& ={\displaystyle \frac{3c_n}{3^{n+1}}}+{\displaystyle \frac{b_n}{3^{n+1}}}\\ & ={\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}+{\displaystyle \frac{b_n}{3^{n+1}}}\mathrm{式}Ｉ\end{array}$$

式Ｅより、$b_n=3^{n+1}(2n+1)$ $y_n={\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}$ なので、式Ｉは
$$\begin{array}{rl}{y}_{n+1}& =y_n+{\displaystyle \frac{3^{n+1}(2n+1)}{3^{n+1}}}\\ & =y_n+2n+1\end{array}$$ となる。

解答サ：２, シ：１

この式は、漸化式の基本の形の３つめなので、階差数列を使って解く。

復習

ここで、階差数列を使った一般項の求め方の復習をしておこう。

公式

$\{a_n\}$の階差数列が$\{b_n\}$のとき、$\{a_n\}$の一般項$a_n$は、
${\displaystyle a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k(2\leqq n)}$

だった。

$\{y_n\}$の階差数列の一般項が$2n+1$なので、$2\leqq n$のとき、一般項$y_n$は
${\displaystyle y_n=y_1+\sum _{k=1}^{n-1}(2k+1)}$式Ｊ
$y_1$は、
$c_1=3$ $y_n={\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}$ より、
$y_1={\displaystyle \frac{3}{3^1}}=1$
であるから、式Ｊは
${\displaystyle y_n=1+\sum _{k=1}^{n-1}(2k+1)}$
となる。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}{y}_n& =1+2\sum _{k=1}^{n-1}k+\sum _{k=1}^{n-1}1\\ & =1+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(n-1)n+(n-1)\\ & =1+n^2-n+n-1\\ & =n^2\end{array}$$ となる。
これは$n=1$のときも成り立つ。

これを$y_n={\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}$に代入して、
${\displaystyle \frac{c_n}{3^n}}=n^2$
$c_n=3^n{n}^2$式Ｋ
なので、
${\displaystyle \frac{c_{10}}{3^{10}}}=y_{10}={10}^2=100$
である。

解答ス：１, セ：０, ソ：０

②式の$n$に$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$と代入して、全部たすと、計算するまでもなく、キクを求めたときの結果から
${\displaystyle T_{n+1}-c_1=3T_n+\sum _{k=1}^n{b}_k}$式Ｌ
である。
ここで、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k=S_n}$ $c_1=3$ なので、式Ｌは
$T_{n+1}-3=3T_n+S_n$
となる。

解答タ：３

この式に、さらに式Ｈの$S_n$の一般項を代入して、
$T_{n+1}-3=3T_n+3^{n+2}\cdot n$式Ｍ

ここで、キク～ケコと同じことをしよう。

$T_{n+1}=T_n+c_{n+1}$
なので、これを式Ｍに代入して、
$T_n+c_{n+1}-3=3T_n+3^{n+2}\cdot n$

これに式Ｋの$c_n$の一般項を代入して、
$T_n+3^{n+1}(n+1{)}^2-3=3T_n+3^{n+2}\cdot n$

途中式

$$\begin{array}{rl}2T_n& =3^{n+1}(n+1{)}^2-3-3^{n+2}\cdot n\\ & =3^{n+1}(n+1{)}^2-3-3^{n+1}\cdot 3n\\ & =3^{n+1}\{(n+1{)}^2-3n\}-3\\ & =3^{n+1}(n^2+2n+1-3n)-3\\ & =3^{n+1}(n^2-n+1)-3\end{array}$$ $T_n={\displaystyle \frac{3^{n+1}(n^2-n+1)-3}{2}}$
より、

$T_n={\displaystyle \frac{(n^2-n+1)3^{n+1}-3}{2}}$
である。

解答チ：１, ツ：３, テ：３, ト：２