正五角形のひとつの内角は${108}^{\circ }$だ。
知っていればいいんだけど、知らない人もいるだろうし、多角形の内角の復習から始めよう。

これを使うと、正五角形のひとつの外角は
${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }}$
なので、ひとつの内角は
${180}^{\circ }-{72}^{\circ }={108}^{\circ }$
となる。

このほかにもいくつかの解法がある。
３つ紹介したので、必要に応じて確認してほしい。

別解２

外角の和の性質も 内角の和の公式も知らないときは、次のように考える。

正五角形の頂点を結んで、右図のように３つの三角形に分ける。
緑の角，赤い角，青い角ともに和は${180}^{\circ }$なので、正五角形の内角の和は
${180}^{\circ }\times 3$
である。

ひとつの内角はこれを$5$で割って、
${\displaystyle \frac{180\cdot 3}{5}=36\cdot 3}$
           $={108}^{\circ }$
となる。

別解３

次のような考え方もある。

正五角形の各頂点から中心を結んで、右図のように５つの合同な三角形をつくる。
５つの赤い角は等しいので、赤い角ひとつは
${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }}$
である。

赤い角ひとつと緑の角ふたつで${180}^{\circ }$なので、緑の角ふたつは
${180}^{\circ }-{72}^{\circ }={108}^{\circ }$
だから、正五角形のひとつの内角は
${108}^{\circ }$
となる。

正五角形のひとつの内角が分かったところで、問題を解く。

図Ａの青い三角形は頂角${108}^{\circ }$の二等辺三角形なので、青い角はそれぞれ
$({180}^{\circ }-{108}^{\circ })÷2={36}^{\circ }$
である。

よって、
$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{B}}_1={36}^{\circ }$
となる。

解答ア：３, イ：６

また、図Ａの青い三角形と緑の三角形は、ふたつの辺と間の角が等しいから合同だ。

なので、
青い角$=$緑の角$={36}^{\circ }$
だから、赤い角は
${108}^{\circ }-2\times {36}^{\circ }={36}^{\circ }$
である。

よって、
$\mathrm{\angle }{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2={36}^{\circ }$
となる。

以上より、錯角が等しいから
${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$∥${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$
なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$∥$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$
であることが分かる。

さらに、
${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2=a$
${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1=1$
で、
$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$は向きも等しい。

よって、
$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}=a\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$式Ａ
と表せる。

解答ウ：ａ

$a$を求めるために、$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$の式をもうひとつ作って、式Ａ''と係数を比較しよう。

図Ｂで
赤い矢印$=$青い矢印

より
$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2\mathrm{O}}+\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1}$式Ｂ
と表せる。

式Ａをつくったときと同様に考ると
$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_2}=a\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1\mathrm{O}}$ $\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1}=a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$ なので、式Ｂは
$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=a\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1\mathrm{O}}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2\mathrm{O}}+\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$
とかける。

式Ａ''で$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$を表すのに使ったベクトルは$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$だった。
今回もそれに合わせると、
$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=-a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}-\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$

解答エ：ａ オ：１

また、
${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2=a$
${\displaystyle {\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$${\displaystyle =\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
なので、
${\displaystyle \left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}\right|=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$式Ｄ
とかける。

いま
$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}-\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}$
なので、式Ｄは
${\displaystyle |\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}-\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}|=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
となるから、
${|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}-\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}|}^2={\displaystyle {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2}$

解答カ：３, キ：５, ク：２

式Ｅをさらに変形すると、
${\displaystyle (\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}-\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1})\cdot (\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}-\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1})=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$
より
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\right|}^2-2\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}+{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\right|}^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$式Ｅ'
となる。

いま、正十二面体の１辺の長さは$1$なので、
$\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\right|=\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\right|=1$
だから、式Ｅ'は
$1^2-2{\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}+1^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$
とかける。

これを計算して、

解答ケ：１, コ：５, サ：４

図の固定

また、$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}$，$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$，$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}$（図Ｅの３つの赤いベクトル）は、
すべて大きさが$1$ どの組合せも、なす角は${108}^{\circ }$ で等しい。

なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}$
であり、ケ～サより、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}}$式Ｇ
である。

ここで、
$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$
を考える。

式Ｆ'より、
$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot (\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2})$

これを計算して
$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$

式Ｇを代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}}$${\displaystyle =(a+1)\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$

$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$なので、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1)\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$

解答シ：９

また、
$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$
に式Ｃ'を代入すると
$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=(\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1})\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$

これを計算すると
$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$式Ｉ
となるけど、この式の緑の部分は式Ｈで計算済み。
赤い部分を考えよう。

$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$
は、式Ｆ'より
$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot (\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}+a\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2})$
とかける。

これを計算して
$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}+a{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\right|}^2$

式Ｇと$\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\right|=1$を代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a}$

これと式Ｈを式Ｉに代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a+a\cdot \frac{-1-\sqrt{5}}{4}}$

$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$$=0$
である。

解答ス：０

図の固定

図Ｆで、赤いベクトルは、青いベクトルの和と等しい。
よって、
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{B}}_2\mathrm{D}}$式Ｊ
と表せる。

いま、

なので、
$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_2\mathrm{D}}=\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}$
となるから、式Ｊは
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}$
とかける。

つまり、$s$，$t$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}+t\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}$
の形で表せるので、点$\mathrm{O}$，${\mathrm{B}}_1$，$\mathrm{D}$，${\mathrm{B}}_2$は同一平面上にある。

また、
${\mathrm{OB}}_1={\mathrm{OB}}_2={\mathrm{B}}_1\mathrm{D}={\mathrm{B}}_2\mathrm{D}=a$
なので、四角形${\mathrm{OB}}_1{\mathrm{DB}}_2$（図Ｆの紫の四角形）のすべての辺の長さは等しい。

さらに、スより
$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OB}}_2}=0$
なので、
$\mathrm{\angle }{\mathrm{B}}_1{\mathrm{OB}}_2={90}^{\circ }$
である。

以上より、紫の四角形は
正方形
であることが分かる。

解答セ：０