大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
(1)
$c=1$のとき、式①は
$2x^{2}+(4\cdot 1-3)x+2\cdot 1^{2}-1-11=0$
より
$2x^{2}+x-10=0$
となる。
この式の左辺をたすきがけにより因数分解すると
| $2x$ | $+5$ | → | $+5x$ | |
| $x$ | $-2$ | → | $-4x$ | |
| $2x^{2}$ | $-10$ | $+x$ | ||
より
$(2x+5)(x-2)$
とかける。
解答ア：２, イ：５, ウ：２
よって、①の解は
$x=-\displaystyle \frac{5}{2}$，$2$
である。
(2)
式①に解の公式を使うと、
$$
\begin{align}
x=\displaystyle \frac{-(4c-3)\pm\sqrt{\begin{split} &(4c-3)^{2}\\&\quad -4\cdot 2\cdot(2c^{2}-c-11) \end{split}}}{2\cdot 2}
\end{align}
$$
途中式
より
$$
\begin{align}
x=\displaystyle \frac{-(4c-3)\pm\sqrt{\begin{split} &(16c^{2}-24c+9)\\&\quad -(16c^{2}-8c-88)\end{split}}}{2\cdot 2}
\end{align}
$$
とかける。
$c=2$のとき、式Ａは
$x=\displaystyle \frac{-(4\cdot 2-3)\pm\sqrt{-16\cdot 2+97}}{2\cdot 2}$
となるから、これを整理して、①の解は
$x=\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{65}}{4}$
である。
解答エ：５, オ：６, カ：５, キ：４
解のうち大きい方を$\alpha$とすると
$\displaystyle \alpha=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$
なので、
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}=\frac{5}{\frac{-5+\sqrt{65}}{4}}$
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 4}{-5+\sqrt{65}}$
と表せる。
この分母を有理化して、
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}=\frac{5\cdot 4\cdot(5+\sqrt{65})}{(-5+\sqrt{65})(5+\sqrt{65})}$
途中式
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 4\cdot(5+\sqrt{65})}{-25+65}$
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 4\cdot(5+\sqrt{65})}{40}$
である。
解答ク：５, ケ：６, コ：５, サ：２
式Ｂの赤い部分を考えると、
$64 \lt 65 \lt 81$
なので
$8^{2} \lt 65 \lt 9^{2}$
より
$8 \lt \sqrt{65} \lt 9$
とかける。
この式の各辺に$5$をたして、
$5+8 \lt 5+\sqrt{65} \lt 5+9$
より
$13 \lt 5+\sqrt{65} \lt 14$
各辺を$2$で割って、
$\displaystyle \frac{13}{2} \lt \frac{5+\sqrt{65}}{2} \lt \frac{14}{2}$
より
$6.5 \lt \displaystyle \frac{5+\sqrt{65}}{2} \lt 7$
と表せる。
これに式Ｂを代入すると
$6.5 \lt \displaystyle \frac{5}{\alpha} \lt 7$
とかけるから、
$m \lt \displaystyle \frac{5}{\alpha} \lt m+1$
を満たす整数$m$は
$6$
である。
解答シ：６
(3)
式Ａより、①の解は
$x=\displaystyle \frac{- \textcolor{blue}{(4c-3)} \pm \textcolor{red}{\sqrt{-16c+97}}}{\textcolor{green}{2\cdot 2}}$
だった。
これが異なる二つの有理数である場合を求める。
この解の
緑の部分は有理数
$c$は整数なので、青い部分は有理数
だから、赤い部分が有理数であれば、解$x$は有理数だ。
つまり、赤い部分の√の中の
$-16c+97$式Ｃ
が、$0$でない整数の２乗になればよい。
$c$は正の整数なので、$c$の最小値は$c=1$だ。
よって、式Ｃは
$-16\cdot 1+97=81$式Ｄ
以下の値をとる。
$0$でない整数の２乗である数のうち、$81$以下のものは
$1^{2}=1$
$2^{2}=4$
$3^{2}=9$
$4^{2}=16$
$5^{2}=25$
$6^{2}=36$
$7^{2}=49$
$8^{2}=64$
$9^{2}=81$
の９つある。
式Ｃがこの９つの値になるとき、①の解は有理数だ。
でも、式Ｃは偶数と奇数の和なので、必ず奇数。
よって、赤い４つは不適。
黒い５つから、$c$が整数になるものを探そう。
式Ｃ$=1$
のとき、
$-16c+97=1$
より
$16c=97-1$
$16c$$=96$
$c=6$
で条件に合う。
式Ｃ$=9$
のとき、
$-16c+97=9$
より
$16c=97-9$
$16c$$=96$
$c=\displaystyle \frac{11}{2}$
と分数になるので不適。
式Ｃ$=25$
のとき、
$-16c+97=25$
より
$16c=97-25$
$16c$$=72$
$c=\displaystyle \frac{9}{2}$
と分数になるので不適。
式Ｃ$=49$
のとき、
$-16c+97=49$
より
$16c=97-49$
$16c$$=48$
$c=3$
で条件に合う。
式Ｃ$=81$
のとき、式Ｄより
$c=1$
で条件に合う。
以上より、求める整数$c$の個数は、$c=6$，$3$，$1$ の３個ある。
解答ス：３