さらに、相加平均と相乗平均の関係から、
${\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}\geqq \sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}}$
       （等号成立は$2^x=2^{-x}$のとき）
とかける。

この式の左辺は$f(x)$なので、
$f(x)\geqq \sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}$
       （等号成立は$2^x=2^{-x}$のとき）
と表せる。

よって、$f(x)$が最小になるのは等号成立のときで、
$2^x=2^{-x}$
より
$x=-x$
$x=0$
のとき。

解答タ：０

最小値は
$\sqrt{2^0\cdot 2^0}=1$
である。

解答チ：１

$g(x)=-2$
は
${\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}=-2}$
とかける。
これを解く。

分母を払うと、
$2^x-2^{-x}=-4$

負の指数は嫌いな人がいるので、正の指数にかきなおすと、
$2^x-{\displaystyle \frac{1}{2^x}=-4}$

$2^x=A$とおくと、この式は

途中式

$A-{\displaystyle \frac{1}{A}=-4}$
より
$A^2-1=-4A$

$A^2+4A-1=0$
とかける。

解の公式より、
$A={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}}$

途中式

$A$${\displaystyle =\frac{-4\pm \sqrt{4(4+1)}}{2}}$
$A$${\displaystyle =\frac{-4\pm 2\sqrt{5}}{2}}$

$A$$=-2\pm \sqrt{5}$

アドバイス

$x$の係数が$2$の倍数で、$2b$とかけるとき、
解の公式：$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}}$
っていうのもあるけど、使わないことを薦めます。
この公式に頼ってしまうと、因数分解するのがおろそかになりがちだから。
これを憶える余裕があったら、英単語のひとつでも憶えた方がいいです。

$A=2^x$
なので
$2^x=-2\pm \sqrt{5}$
だけど、
$0<2^x$
より
$2^x=-2-\sqrt{5}$
は不適であることが分かる。

残る
$2^x=-2+\sqrt{5}$
が答えなので、これを$x=$の形にする。

この式の両辺の底が$2$の対数をとると
${\log }_2{2}^x={\log }_2(-2+\sqrt{5})$

途中式

これを変形して、
$x{\log }_{2}2={\log }_2(-2+\sqrt{5})$
${\log }_{2}2=1$なので、

$x={\log }_2(\sqrt{5}-2)$
である。

解答ツ：５, テ：２

①～④の式をそれぞれ計算する。

①

$f(-x)={\displaystyle \frac{2^{-x}+2^{-(-x)}}{2}}$
$f(-x)$${\displaystyle =\frac{2^{-x}+2^x}{2}}$
$f(-x)$${\displaystyle =\frac{2^x+2^{-x}}{2}}$

なので、
$f(-x)=f(x)$
である。

解答ト：０

②

$g(-x)={\displaystyle \frac{2^{-x}-2^{-(-x)}}{2}}$
$g(-x)$${\displaystyle =\frac{2^{-x}-2^x}{2}}$
$g(-x)$${\displaystyle =\frac{-2^x+2^{-x}}{2}}$
$g(-x)$${\displaystyle =-\frac{2^x-2^{-x}}{2}}$

なので、
$g(-x)=-g(x)$
である。

解答ナ：３

③

$$\begin{array}{rl}{\{f(x)\}}^2-& {\{g(x)\}}^2\\ & =\{f(x)+g(x)\}\{f(x)-g(x)\}\end{array}$$ なので、
$$\begin{array}{rl}{\{f(x)\}}^2-& {\{g(x)\}}^2\\ & =\frac{(2^x+2^{-x})+(2^x-2^{-x})}{2}\\ & \times \frac{(2^x+2^{-x})-(2^x-2^{-x})}{2}\end{array}$$ とかける。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}{\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2& =\frac{2\cdot 2^x}{2}\times \frac{2\cdot 2^{-x}}{2}\\ & =2^x\times 2^{-x}\\ & =1\end{array}$$ である。

解答ニ：１

④

$g(2x)={\displaystyle \frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2}}$

$f(x)g(x)={\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}\cdot \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$
$f(x)g(x)$${\displaystyle =\frac{(2^x{)}^2-(2^{-x}{)}^2}{2^2}}$
$f(x)g(x)$${\displaystyle =\frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2^2}}$

となるけど、このふたつの式を見比べると、
$g(2x)=2f(x)g(x)$
であることが分かる。

解答ヌ：２

問題文に「$\beta$に何か具体的な値を代入して調べ」るような話があるから、やってみよう。

(1)で
$f(0)=1$
$g(0)=0$
が分かっているから、それを使うために、$\beta$に代入する値は$0$だ。

(A)

左辺より、
$f(\alpha -0)=f(\alpha )$

右辺より、
$f(\alpha )g(0)+g(\alpha )f(0)=f(\alpha )\cdot 0+g(\alpha )\cdot 1$
$f(\alpha )g(0)+g(\alpha )f(0)$$=g(\alpha )$

左辺$\ne$右辺となるので、(A)はつねに成り立つわけではない。

(B)

左辺より、
$f(\alpha +0)=f(\alpha )$

右辺より、
$f(\alpha )f(0)+g(\alpha )g(0)=f(\alpha )\cdot 1+g(\alpha )\cdot 0$
$f(\alpha )f(0)+g(\alpha )g(0)$$=f(\alpha )$

左辺$=$右辺となるので、答えの候補だ。

(C)

左辺より、
$g(\alpha -0)=g(\alpha )$

右辺は(B)と同じなので、
$f(\alpha )f(0)+g(\alpha )g(0)=f(\alpha )$

左辺$\ne$右辺となるので、(C)もつねに成り立つわけではない。

(D)

左辺より、
$g(\alpha +0)=g(\alpha )$

右辺より、
$f(\alpha )g(0)-g(\alpha )f(0)=f(\alpha )\cdot 0-g(\alpha )\cdot 1$
$f(\alpha )g(0)-g(\alpha )f(0)$$=-g(\alpha )$

左辺$\ne$右辺となるので、(D)もつねに成り立つわけではない。