大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試数学ⅡＢ第２問解説

(1)

①，②ともに定数項は $3$ なので、 $x$ に $0$ を代入すると $y$ は $3$ になる。
よって、 $y$ 軸との交点の $y$ 座標は
$3$
である。

解答ア：３

また、
①を微分すると
$y^{'} = 6 x + 2$ ②を微分すると
$y^{'} = 4 x + 2$ だから、 $x = 0$ を代入すると、両方とも
$y^{'} = 2$
になる。

なので、①，②ともに、 $x = 0$ における接線の傾きは
$2$
である。

よって、求める接線は
傾きが $2$ $y$ 切片が $3$ の直線だから、
$y = 2 x + 3$
となる。

解答イ：２, ウ：３

アドバイス

以上から、
$y = \dots + α x^{4} + β x^{3} + γ x^{2} + δ x +$ $ϵ$ 式Ａ
というグラフがあった場合、

$x = 0$ における
$y$ 座標（ $y$ 切片）は、式Ａの緑の部分接線の式は、式Ａの赤い部分であることが分かる。

詳しく

$y = \dots + α x^{4} + β x^{3} + γ x^{2} + δ x + ϵ$
に $x = 0$ を代入すると
$y = ϵ$
となるので、グラフの $y$ 切片は必ず式Ａの緑の部分になる。

また、
$y = \dots + α x^{4} + β x^{3} + γ x^{2} + δ x + ϵ$
を微分すると、導関数は
$y^{'} = \dots + 4 α x^{3} + 3 β x^{2} + 2 γ x + δ$
となるけど、これに $x = 0$ を代入すると、
$y^{'} = δ$
である。

よって、 $x = 0$ における接線は
傾きが $δ$ $y$ 切片が $ϵ$ の直線だから、
$y = δ x + ϵ$
となって、必ず式Ａの赤い部分になる。

アドバイスより、 $x = 0$ における接線がイウで求めた直線になる二次関数は、 $α$ を実数として
$y = α x^{2} + 2 x + 3$
とかける。

選択肢のうち、これにあてはまるのは
④
である。

解答エ：４

次は、
$y = a x^{2} + b x + c$
の $y$ 切片と接線だ。

アドバイスより、
$y = a x^{2} + b x +$ $c$
の
$y$ 軸との交点の $y$ 座標は、
緑の部分の $c$ $x = 0$ における接線 $ℓ$ の式は、
赤い部分の $b x + c$ である。

解答オ：ｃ, カ：ｂ, キ：ｃ

この直線 $ℓ$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、 $y = 0$ を代入して、
$b x + c = 0$
より
$x = - \frac{c}{b}$
である。

解答ク：－, ケ：ｃ, コ：ｂ

$0 < a$ ， $0 < b$ ， $0 < c$ のとき、

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフは
$0 < a$ なので、下に凸 $- \frac{b}{a} < 0$ なので、軸は $y$ 軸より左だ。

なので、グラフは図Ａのようになる。

ただし、図Ａでは、とりあえず
$x = - \frac{c}{b}$ は放物線の軸よりも左放物線と $x$ 軸は共有点をもたないように描いてあるけれど、そうなるとは限らない。

図の固定

図Ａの緑の部分の面積 $S$ は
$S = \int_{- \frac{c}{b}}^{0} {(a x^{2} + b x + c) - (b x + c)} d x$
とかける。

これを計算して、 $S$ は
$S = \int_{- \frac{c}{b}}^{0} a x^{2} d x$
$S$ $= {[\frac{a x^{3}}{3}]}_{- \frac{c}{b}}^{0}$
$S$ $= \frac{1}{3} {a \cdot 0^{3} - a {(- \frac{c}{b})}^{3}}$
$S$ $= \frac{a c^{3}}{3 b^{3}}$ ③
となる。

解答サ：３, シ：３, ス：３

$b$ と $c$ のグラフを考えるために、③を $c =$ の形に変形しよう。

$a = 1$ のとき、③は
$S = \frac{c^{3}}{3 b^{3}}$
となる。

これを変形して、
$c^{3} = 3 S b^{3}$
両辺の３乗根をとって、
$c = \sqrt[3]{3 S} b$ ③'

$\sqrt[3]{3 S} = k$
とおくと、 $S$ は定数なので、 $k$ は定数だ。
よって、③'は、定数 $k$ を使って
$c = k b$
と表せる。

これは正比例の式なので、グラフは、選択肢の
⓪
である。

解答セ：０

(2)

(1)のアドバイスより、④，⑤，⑥の
$y$ 軸との交点の $y$ 座標は、 $5$ $x = 0$ における接線 $ℓ$ の式は、 $y = 3 x + 5$ である。

解答ソ：５, タ：３, チ：５

同様に、
$y = a x^{3} + b x^{2} + c x +$ $d$
の
$y$ 軸との交点の $y$ 座標は、
緑の部分の $d$ $x = 0$ における接線 $ℓ$ の式は、
赤い部分の $c x + d$ である。

解答ツ：ｄ, テ：ｃ, ト：ｄ

$y = h (x)$
のグラフと $x$ 軸との共有点を考えよう。

$h (x) = f (x) - g (x)$
より
$h (x) = (a x^{3} + b x^{2} + c x + d) - (c x + d)$
$h (x)$ $= a x^{3} + b x^{2}$ 式Ｂ
とかける。

グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は
$h (x) = 0$
の解なので、
$a x^{3} + b x^{2} = 0$
を解けばよい。

これを計算して、
$(a x + b) x^{2} = 0$
より
$a x + b = 0$ ， $x = 0$
なので、グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は
$x = - \frac{b}{a}$ ， $0$
となる。

このうち、
$0$
は重解なので、グラフは $x = 0$ 、つまり原点で $x$ 軸と接する。

また、 $0 < a$ ， $0 < b$ なので、
$- \frac{b}{a} < 0$
である。
なので、グラフは $x < 0$ の範囲で $x$ 軸と交わる。

よって、当てはまるグラフは、選択肢の
②
である。

解答ナ：２

また、
$h (x) = 0$
は
$f (x) - g (x) = 0$
つまり
$f (x) = g (x)$
と表せるけど、この解が
$- \frac{b}{a}$ ， $0$
なので、この２つの値のとき $f (x)$ と $g (x)$ の値は等しくなる。

よって、この２つの値のとき、
$y = f (x)$
と
$y = g (x)$
のグラフは共有点をもつ。

解答ニ：－, ヌ：ｂ, ネ：ａ, ノ：０

最後は、
$| f (x) - g (x) |$ の最大つまり
$| h (x) |$ の最大の問題だ。

ナより、
$y = h (x)$
のグラフの概形は、選択肢の②（図Ｂ）だった。

図の固定

いまは
$- \frac{b}{a} < x < 0$
のときを考えるので、 $x$ の範囲は図Ｂの緑の部分だ。

緑の範囲では、グラフは $x$ 軸よりも上にあるから、
$0 < h (x)$
なので、
$| h (x) |$ の最大は、
$h (x)$ の最大と言いかえられる。

図Ｂの緑の範囲で $h (x)$ が最大になるのは、図Ｂの赤い点で、極大になる点だ。

ということで、 $h (x)$ が極大のときの $x$ を求めよう。

$h (x)$ の式（式Ｂ）を微分して、
$h^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x$

極大になるのは、 $h^{'} (x) = 0$ のときなので、
$3 a x^{2} + 2 b x = 0$
より
$(3 a x + 2 b) x = 0$
とかける。

よって、 $h^{'} (x)$ が $0$ になるのは、
$x = - \frac{2 b}{3 a}$ ， $0$
のとき。

このうち $0$ は、図Ｂを見ると極小になるときの $x$ だから、求める答えじゃない。

グラフが極大の赤い点になるのは、
$x = - \frac{2 b}{3 a}$
のときである。

解答ハ：－, ヒ：２, フ：ｂ, ヘ：３, ホ：ａ

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