問題Ａの関数と加法定理の公式を並べてみる。

$y$	$=$	$\textcolor{deeppink}{1} \textcolor{seagreen}{\sin\theta}$	$+$	$\textcolor{darkorange}{\sqrt{3}} \textcolor{seagreen}{\cos\theta}$	式Ａ
$\sin(\theta+\alpha)$	$=$	$\textcolor{seagreen}{\sin\theta} \textcolor{deeppink}{\cos\alpha}$	$+$	$\textcolor{seagreen}{\cos\theta} \textcolor{darkorange}{\sin\alpha}$	式Ｂ

ふたつの式を見比べると、緑の部分は等しい。
なので、もし 赤とオレンジの部分も等しくて

	$\textcolor{deeppink}{\cos\alpha}=\textcolor{deeppink}{1}$	式Ｃ
	$\textcolor{darkorange}{\sin\alpha}=\textcolor{darkorange}{\sqrt{3}}$

なら、式Ａ$=$式Ｂになって、
$y=\sin(\theta+\alpha)$
とかける。

だけど、式Ｃだと、$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$が
$\textcolor{deeppink}{1}^{2}+\textcolor{darkorange}{\sqrt{3}}^{2}=4$式Ｄ
となり、$1$にならないからありえない値だ。

あり得ない値は困るので、何とかしよう。
式Ｄが$=1$になればいいので、式Ｄの両辺を$4$で割る。

すると、
$\displaystyle \frac{1^{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}^{2}}{4}=\frac{4}{4}$
より
$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}=1$
なので、

	$\displaystyle \textcolor{deeppink}{\cos\alpha}=\textcolor{deeppink}{\frac{1}{2}}$	式Ｃ'
	$\displaystyle \textcolor{darkorange}{\sin\alpha}=\textcolor{darkorange}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

なら、あり得る値であることが分かる。

このとき、式Ｂは
$\displaystyle \sin(\theta+\alpha)=\textcolor{deeppink}{\frac{1}{2}} \textcolor{seagreen}{\sin\theta}+\textcolor{darkorange}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\textcolor{seagreen}{\cos\theta}$式Ｂ'
とかけるけど、式Ａと見比べると、赤い部分もオレンジの部分も式Ａの半分で等しくない。

ふたつの式が等しくないと困るので、何とかしよう。
赤い部分もオレンジの部分も半分になったのなら、$2$をかければよい。

式Ｂ'の両辺に$2$をかけると
$\displaystyle 2\sin(\theta+\alpha)=2\left(\textcolor{deeppink}{\frac{1}{2}} \textcolor{seagreen}{\sin\theta}+\textcolor{darkorange}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\textcolor{seagreen}{\cos\theta}\right)$
                                          式Ｂ''
となって、これなら式Ａと同じ式だ。

この関数の最大を求める。

$\displaystyle \theta+\frac{\pi}{3}=A$式Ｅ
とおくと、問題の関数は
$y=2\sin A$
とかける。

問題文にある$\theta$の定義域の各辺に$\displaystyle \frac{\pi}{3}$をたすと
$\displaystyle \frac{\pi}{3}\leqq\theta+\frac{\pi}{3}\leqq\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}$
より
$\displaystyle \frac{\pi}{3}\leqq A\leqq\frac{5\pi}{6}$
となるから、$A$の定義域は図Ａの緑の部分だ。

このとき、$2\sin A$が最大になるのは、図中の赤い点で
$A=\displaystyle \frac{\pi}{2}$
のとき。

これを$\theta$で表すと、式Ｅより
$\displaystyle \theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$
のとき。

解答ウ：６

最大値は、
$2\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=2$
である。

解答エ：２

$p=0$のとき、問題Ｂの関数は
$ y=\sin\theta$
となる。

定義域は
$0\displaystyle \leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$
なので、図Ｂの緑の部分だ。

このとき、$\sin\theta$が最大になるのは、図中の赤い点で
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$
のとき。

解答オ：２

最大値は
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1$
である。

解答カ：１

(1)と同様に考える。

問題Ｂの関数の項の順序を入れ変えて、加法定理の公式と並べてみる。

$y$	$=$	$\textcolor{deeppink}{p} \textcolor{seagreen}{\cos\theta}$	$+$	$\textcolor{darkorange}{1} \textcolor{seagreen}{\sin\theta}$	式Ｆ
$\cos(\theta-\alpha)$	$=$	$\textcolor{seagreen}{\cos\theta} \textcolor{deeppink}{\cos\alpha}$	$+$	$\textcolor{seagreen}{\sin\theta} \textcolor{darkorange}{\sin\alpha}$	式Ｇ

ふたつの式を見比べると、緑の部分は等しい。
なので、もし 赤とオレンジの部分も等しくて

	$\textcolor{deeppink}{\cos\alpha}=\textcolor{deeppink}{p}$	式Ｈ
	$\textcolor{darkorange}{\sin\alpha}=\textcolor{darkorange}{1}$

なら、ふたつの式は完全に等しくなって、
$y=\cos(\theta-\alpha)$
とかける。

だけど、式Ｈだと、$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$が
$\textcolor{deeppink}{p}^{2}+\textcolor{darkorange}{1}^{2}=1+p^{2}$式Ｉ
となって、$1$にならないからありえない値だ。

あり得ない値は困るので、何とかしよう。
式Ｉが$=1$になればいいので、式Ｉの両辺を$1+p^{2}$で割る。

すると、
$\displaystyle \frac{p^{2}}{1+p^{2}}+\frac{1^{2}}{1+p^{2}}=\frac{1+p^{2}}{1+p^{2}}$
より
$\displaystyle \left( \frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}} \right)^{2}+\left( \frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}} \right)^{2}=1$
なので、

	$\displaystyle \textcolor{deeppink}{\cos\alpha}=\textcolor{deeppink}{\frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}}}$	式Ｈ'
	$\displaystyle \textcolor{darkorange}{\sin\alpha}=\textcolor{darkorange}{\frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}}$

なら、あり得る値であることが分かる。

このとき、式Ｇは
$\displaystyle \cos(\theta-\alpha)=\textcolor{deeppink}{\frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}}} \textcolor{seagreen}{\sin\theta}+\textcolor{darkorange}{\frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}}\textcolor{seagreen}{\cos\theta}$
式Ｇ'
となるけど、式Ｆと見比べると、赤い部分もオレンジの部分も式Ｆの$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}$で等しくない。

ふたつの式が等しくないと困るので、何とかしよう。
赤い部分もオレンジの部分も$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}$になったのなら、$\sqrt{1+p^{2}}$をかければよい。

式Ｇ'の両辺に$\sqrt{1+p^{2}}$をかけると
$\sqrt{1+p^{2}}\cos(\theta-\alpha)$
   $\displaystyle =\sqrt{1+p^{2}}\left(\textcolor{deeppink}{\frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}}} \textcolor{seagreen}{\sin\theta}+\textcolor{darkorange}{\frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}}\textcolor{seagreen}{\cos\theta}\right)$
式Ｇ''
となって、これなら式Ｆと同じ式だ。

式Ｆ$=$式Ｇ''より、問題Ｂの関数は
$y=\sqrt{1+p^{2}}\cos(\theta-\alpha)$式Ｊ
と変形できる。

解答キ：９

このとき、式Ｈ'より、

	$\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}$
	$\displaystyle \cos\alpha=\frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}}$

である。

解答ク：１, ケ：３

この$\alpha$は、$0\lt\sin\alpha$，$0\lt\cos\alpha$なので、
$0 \lt \displaystyle \alpha \lt \frac{\pi}{2}$
の範囲に入る角だ。

さらに、式Ｊの最大を求める。

$\theta-\alpha=A$式Ｋ
とおくと、式Ｊは
$y=\sqrt{1+p^{2}}\cos A$式Ｊ'
とかける。

$p$は定数なので、式Ｊ'が最大になるのは$\cos A$が最大のとき。

$A$の定義域は、$\theta$の定義域の各辺から$\alpha$を引いて、
$-\displaystyle \alpha\leqq\theta-\alpha\leqq\frac{\pi}{2}-\alpha$
より
$-\displaystyle \alpha\leqq A\leqq-\alpha+\frac{\pi}{2}$式Ｌ
となる。

さっき考えたように、$\alpha$は
$0 \lt \displaystyle \alpha \lt \frac{\pi}{2}$
なので、$A$の定義域は図Ｃのような感じだ。
つまり、$0$を含んだ$90^{\circ}$の範囲になる。

詳しく

さっき考えたように、$\alpha$は
$0 \lt \displaystyle \alpha \lt \frac{\pi}{2}$
なので、
$0 \gt \displaystyle -\alpha \gt -\frac{\pi}{2}$
である。

なので、式Ｌの左辺の$-\alpha$は、
$-90^{\circ}$～$0^{\circ}$
の範囲にあるから、第四象限の角だ。

また、式Ｌの右辺の$\displaystyle -\alpha+\frac{\pi}{2}$は、$-\alpha$に$90^{\circ}$をたした角。

よって、$A$の範囲は、第四象限に始まって、そこから$90^{\circ}$の範囲なので、図Ｃの緑の範囲のようになる。

このとき、$\cos A$が最大になるのは 図中の赤い点で、
$A=0$
のとき。

これを$\theta$で表すと、式Ｋより
$\theta-\alpha=0$
$\theta=\alpha$
のとき。

解答コ：１

最大値は、式Ｊ'に$A=0$を代入した
$\sqrt{1+p^{2}}\cos 0=\sqrt{1+p^{2}}$
である。

解答サ：９

$p \lt 0$のときの$\alpha$がどんな角度か考えると、
式Ｈ'（キクケ）より

	$\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}} \gt 0$
	$\displaystyle \cos\alpha=\frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}} \lt 0$

なので、
$\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi$
であることが分かる。

よって、式Ｌの$A$の定義域は、図Ｄのような感じだ。

詳しく

$\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi$
なので、
$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \gt -\alpha \gt -\pi$
である。

なので、式Ｌの左辺の$-\alpha$は、
$-180^{\circ}$～$-90^{\circ}$
の範囲にあるから、第三象限の角だ。

また、式Ｌの右辺の$\displaystyle -\alpha+\frac{\pi}{2}$は、$-\alpha$に$90^{\circ}$をたした角。

よって、$A$の範囲は、第三象限に始まって、そこから$90^{\circ}$の範囲なので、図Ｄの緑の範囲のようになる。

このとき、$\cos A$が最大になるのは 図中の赤い点で、
$A=-\displaystyle \alpha+\frac{\pi}{2}$
のとき。
$\theta$で表すと、式Ｋより
$\displaystyle \theta-\alpha=-\alpha+\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$
のとき。

よって、問題Ｂの関数が最大になるのは
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$
のときで、最大値は、問題Ｂの関数に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$を代入した
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}+p\cos\frac{\pi}{2}=1+p\cdot 0$
                       $=1$
である。

解答シ：２, ス：１