大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試数学ⅠＡ第３問解説

はじめに

事象の名前がいろいろ出てくるから、最初に整理しておく。

$W$ は、３回くじをひいて１回当たる事象

$A$ は、箱Ａが選ばれる事象

$B$ は、箱Ｂが選ばれる事象

$C$ は、箱Ｃが選ばれる事象

$D$ は、箱Ｄが選ばれる事象

を表す。

(1)

(i)

はじめは、普通の反復試行の確率だ。

当たり率 $\frac{1}{2}$ の箱Ａで３回中１回当たる確率、
つまり箱Ａで事象 $W$ が起こる確率を①とすると、
① $= (\frac{1}{2}) {(1 - \frac{1}{2})}^{2} \times \frac{3!}{2!}$
または
① $= (\frac{1}{2}) {(1 - \frac{1}{2})}^{2} \times_{3} C_{1}$
とかける。

これを計算して、
① $= {(\frac{1}{2})}^{3} \times \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}$
$= \frac{3}{8}$
である。

解答ア：３, イ：８

また、当たり率 $\frac{1}{3}$ の箱Ｂで３回中１回当たる確率、
つまり箱Ｂで事象 $W$ が起こる確率を②とすると、
② $= (\frac{1}{3}) {(1 - \frac{1}{3})}^{2} \times \frac{3!}{2!}$
または
② $= (\frac{1}{3}) {(1 - \frac{1}{3})}^{2} \times_{3} C_{1}$
とかける。

これを計算して、
② $= (\frac{1}{3}) {(1 - \frac{1}{3})}^{2} \times \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}$
$= \frac{1}{3} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} \cdot 3$
$= \frac{4}{9}$
である。

解答ウ：４, エ：９

(ii)

まず、条件付き確率の復習をしておこう。

復習

$W$ が起こったときに $A$ が起こる条件付き確率 $P_{W} (A)$ とは、
$W$ が起こった場合を全事象としたときの、 $A$ が起こる確率のことである。

復習

$W$ が起こる確率を $P (W)$ ， $W$ と $A$ の両方が起こる確率を $P (A \cap W)$ とするとき、
$W$ が起こったときに $A$ が起こる条件付き確率 $P_{W} (A)$ は、
$P_{W} (A) = \frac{P (A \cap W)}{P (W)}$
である。

ということで、 $P_{W} (A)$ ， $P_{W} (B)$ を求めるために、
$P (A \cap W)$ ， $P (B \cap W)$ ， $P (W)$
を求めよう。

まず、
$P (A \cap W)$
$A$ と $W$ が両方起こる確率
$=$ 箱Ａが選ばれ、３回中１回当たる確率 $P (B \cap W)$
$B$ と $W$ が両方起こる確率
$=$ 箱Ｂが選ばれ、３回中１回当たる確率を考える。

箱は無作為に選ぶので、どちらの箱も同じ確率で選ばれる。
なので、事象 $A$ も $B$ も
$\frac{1}{2}$
の確率で起こる。

よって、 $P (A \cap W)$ は、
$P (A \cap W) = \frac{1}{2} \times$ ①
$P (A \cap W)$ $= \frac{3}{2 \cdot 8}$ 式Ａ
となる。

同様に、 $P (B \cap W)$ は、
$P (B \cap W) = \frac{1}{2} \times$ ②
$P (B \cap W)$ $= \frac{4}{2 \cdot 9}$ 式Ｂ
である。

次は、事象 $W$ が起こる確率 $P (W)$ だ。

$W$ が起こるのは、
箱Ａで $W$ が起こる（ $A \cap W$ ）箱Ｂで $W$ が起こる（ $B \cap W$ ）の２パターンしかない。
なので、
$P (W) = P (A \cap W) + P (B \cap W)$
とかける。

これに式Ａ，式Ｂを代入すると、
$P (W) = \frac{3}{2 \cdot 8} + \frac{4}{2 \cdot 9}$

途中式

P (W)

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{8} + \frac{4}{9})

P (W)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{27 + 32}{8 \cdot 9}

P (W)

= \frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}

式Ｃ
となる。

復習より、 $P_{W} (A)$ は、
$P_{W} (A) = \frac{P (A \cap W)}{P (W)}$
とかける。
これに式Ａ，式Ｃを代入して、
$P_{W} (A) = \frac{\frac{3}{2 \cdot 8}}{\frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}}$ 式Ｄ

途中式

\begin{aligned} = \frac{3}{\frac{59}{9}} \\ = \frac{3 \cdot 9}{59} \end{aligned}

= \frac{27}{59}

である。

解答オ：２, カ：７, キ：５, ク：９

同様に、 $P_{W} (B)$ は
$P_{W} (B) = \frac{P (B \cap W)}{P (W)}$
とかける。
これに式Ｂ，式Ｃを代入して、
$P_{W} (B) = \frac{\frac{4}{2 \cdot 9}}{\frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}}$ 式Ｅ

途中式

\begin{aligned} = \frac{4}{\frac{59}{8}} \\ = \frac{4 \cdot 8}{59} \end{aligned}

= \frac{32}{59}

となる。

解答ケ：３, コ：２, サ：５, シ：９

ケコサシの別解

復習より、 $P_{W} (A)$ は、 $W$ が起こった場合を全事象としたときの、 $A$ が起こる確率 $P_{W} (B)$ は、 $W$ が起こった場合を全事象としたときの、 $B$ が起こる確率のこと。

上にも書いたけど、事象 $W$ が起こるのは、
箱Ａで事象 $W$ が起こる（ $A \cap W$ ）箱Ｂで事象 $W$ が起こる（ $B \cap W$ ）の２パターンしかない。

なので、 $P_{W} (A) + P_{W} (B)$ は全事象だから、
$P_{W} (A) + P_{W} (B) = 1$
である。

これにオカキクを代入して、
$\frac{27}{59} + P_{W} (B) = 1$
より
$P_{W} (B) = 1 - \frac{27}{59}$
$P_{W} (B)$ $= \frac{32}{59}$
となる。

解答ケ：３, コ：２, サ：５, シ：９

(2)

見比べやすいように、 $P_{W} (A)$ ， $P_{W} (B)$ ，①，②を並べて書いてみよう。

式Ｄより、
$P_{W} (A) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}}{\frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}}$
式Ｅより、
$P_{W} (B) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}}{\frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}}$

アイより、
① $= \frac{3}{8}$
ウエより、
② $= \frac{4}{9}$
見比べると、
$P_{W} (A)$ の赤い部分は① $P_{W} (B)$ の青い部分は② であることが分かる。

よって、 $P_{W} (A)$ と $P_{W} (B)$ の比は、
$P_{W} (A) : P_{W} (B) = \frac{\frac{1}{2} \cdot ①}{\frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}} : \frac{\frac{1}{2} \cdot ②}{\frac{59}{2 \cdot 8 \cdot 9}}$
$P_{W} (A) : P_{W} (B)$ $= ① : ②$
となる。
以上より、 $P_{W} (A)$ と $P_{W} (B)$ の比は①と②の比に等しい。

解答ス：３

(3)

(1)(ii)と同様に考えよう。

(1)(i)より、
箱Ａで $W$ が起こる確率①は、
① $= \frac{3}{8}$ 箱Ｂで $W$ が起こる確率②は、
② $= \frac{4}{9}$ だった。

また、当たり率 $\frac{1}{4}$ の箱Ｃで $W$ が起こる確率を③とすると、
③ $= (\frac{1}{4}) {(1 - \frac{1}{4})}^{2} \times \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

途中式

= \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot 3

= \frac{3^{3}}{4^{3}}

= \frac{3^{3}}{2^{6}}

である。

どの箱も、選ばれる確率は
$\frac{1}{3}$
なので、
$P (A \cap W) = \frac{1}{3} \times$ ①
$P (A \cap W)$ $= \frac{3}{3 \cdot 8}$ 式Ｆ
$P (B \cap W) = \frac{1}{3} \times$ ②
$P (B \cap W)$ $= \frac{4}{3 \cdot 9}$
$P (C \cap W) = \frac{1}{3} \times$ ③
$P (C \cap W)$ $= \frac{3^{3}}{3 \cdot 2^{6}}$
とかける。

よって、事象 $W$ が起こる確率 $P (W)$ は
$P (W) = P (A \cap W) + P (B \cap W) + P (C \cap W)$
より
$P (W) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{8} + \frac{4}{9} + \frac{3^{3}}{2^{6}})$
$P (W)$ $= \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{8} + \frac{4}{9} + \frac{3^{3}}{8^{2}})$
となるけど、 $8$ ， $9$ ， $8^{2}$ の最小公倍数は $8^{2} \cdot 9$ なので、 $()$ 内を通分して、
$P (W) = \frac{1}{3} \times \frac{3 \cdot 8 \cdot 9 + 4 \cdot 8^{2} + 3^{3} \cdot 9}{8^{2} \cdot 9}$
$P (W)$ $= \frac{715}{3 \cdot 8^{2} \cdot 9}$ 式Ｇ
である。

以上より、求める条件付き確率 $P_{W} (A)$ は、
$P_{W} (A) = \frac{P (A \cap W)}{P (W)}$
に式Ｆ，式Ｇを代入して、
$P_{W} (A) = \frac{\frac{3}{3 \cdot 8}}{\frac{715}{3 \cdot 8^{2} \cdot 9}}$

途中式

P_{W} (A)

= \frac{3}{\frac{715}{8 \cdot 9}}

P_{W} (A)

= \frac{3 \times 8 \cdot 9}{715}

P_{W} (A)

= \frac{216}{715}

となる。

解答セ：２, ソ：１, タ：６, チ：７, ツ：１, テ：５

別解

ちょっとフライング気味だけど、事実（＊）を使うと次のようになる。

事実（＊）より、
$P_{W} (A) : P_{W} (B) : P_{W} (C) =$ ① $:$ ② $:$ ③
と考えられる。

また、
$P_{W} (A) + P_{W} (B) + P_{W} (C) = 1$
である。

このふたつの式から、
$P_{W} (A) = \frac{①}{① + ② + ③}$ 式Ｈ
と表せる。

あとは計算だ。

① $= \frac{3}{8}$ ② $= \frac{4}{9}$
③ $= \frac{3^{3}}{2^{6}}$
$= \frac{3^{3}}{8^{2}}$
なので、式Ｈは、
$P_{W} (A) = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{8} + \frac{4}{9} + \frac{3^{3}}{8^{2}}}$
とかける。

分母分子に $8$ ， $9$ ， $8^{2}$ の最小公倍数 $8^{2} \cdot 9$ をかけて、求める確率は
$\begin{aligned} P_{W} (A) & = \frac{\frac{3}{8} \times 8^{2} \cdot 9}{(\frac{3}{8} + \frac{4}{9} + \frac{3^{3}}{8^{2}}) \times 8^{2} \cdot 9} \\ = \frac{3 \times 8 \cdot 9}{3 \times 8 \cdot 9 + 4 \times 8^{2} + 3^{3} \times 9} \\ = \frac{216}{715} \end{aligned}$ となる。

解答セ：２, ソ：１, タ：６, チ：７, ツ：１, テ：５

(4)

最後は、 $W$ が起こったとき、選んだ可能性が高い順に箱を並べる問題だ。

$W$ が起こったとき、選んだ箱が
Ａである確率 $P_{W} (A)$ Ｂである確率 $P_{W} (B)$ Ｃである確率 $P_{W} (C)$ Ｄである確率 $P_{W} (D)$ の４つの確率を大きい順に並べて、対応する箱を考えれば答えが出る。

ただし、大小関係だけ分かればいいので、それぞれの確率を正直に求める必要はない。
箱Ｄで $W$ が起こる確率を④とすると、事実（＊）より、
$P_{W} (A) : P_{W} (B) : P_{W} (C) : P_{W} (D)$
$=$ ① $:$ ② $:$ ③ $:$ ④
となる。
この性質を使って、 $P_{W} (A)$ ～ $P_{W} (D)$ の代わりに①～④を大きい順に並べる。

これまでの計算から、
① $= \frac{3}{8}$
② $= \frac{4}{9}$
③ $= \frac{3^{3}}{8^{2}}$
であるのは分かっている。

また、④は当たり率 $\frac{1}{5}$ の箱Ｄで事象 $W$ が起こる確率なので、
④ $= (\frac{1}{5}) (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}$
$= \frac{1}{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{2} \cdot 3$
$= \frac{4^{2} \cdot 3}{5^{3}}$
である。

①～④は分母がばらばらの分数なので、そのままでは比較ができない。
比較するためには、
小数にする分母をそろえる（通分する）分子をそろえるの３つの方法が考えられるけど、分母や分子をそろえるのは数が大きくなって結構大変だ。
大小関係だけ分かればいいので、ここでは少数にして比較する。

① $= \frac{3}{8}$
    $= 3 \div 8$
    $= 0.375$
② $= \frac{4}{9}$
    $= 4 \div 9$
    $= 0. \dot{4}$

③ $= \frac{3^{3}}{8^{2}}$
    $= 27 \div 64$
    $≑ 0.42$
④ $= \frac{4^{2} \cdot 3}{5^{3}}$
    $= 48 \div 125$
    $= 0.384$

なので、
② $>$ ③ $>$ ④ $>$ ①
であることが分かる。

よって、可能性が高い順に箱を並べると、
Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ
となる。

解答ト：８

第１問	[1]	解説
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