この式に図Ａの３つのパターンを当てはめると、
パターンＡ
$n=16$なので、
$8x=16+15$
$8x$$=31$
パターンＢ
$n=1$なので、
$8x=1+15$
$8x$$=16$
$x=2$
パターンＣ
$n=-14$なので、
$8x=-14+15$
$8x$$=1$
となる。

パターンＡ，パターンＣは、$x$が整数にならないので不適。
答えは、パターンＢの
$x=2$
である。

また、このときの$y$は、式Ａに$x=2$を代入して、
$y=3$
となる。

以上より、５回の移動で${\mathrm{P}}_0$から${\mathrm{P}}_1$に動くのは、
偶数が２回、奇数が３回 出た場合だけである。

解答ア：２, イ：３

この問題は頭を使うよりも手を使った方が早く解ける。つまり、全部書く。

５回全て奇数の目が出た場合、５回戻るので、移動量は
$5\times (-3)=-15$
だ。

５回中１回偶数のときは、５回全て奇数のときと比べて、
戻るのが１回減るので、
$-3$が１回分なくなる 進むのが１回増えるので、
$+5$が１回分増える から、移動量は$8$増える。
なので、５回全て奇数のときの移動量に$8$をたして、
$-15+8=-7$
移動する。

同様に、５回のうち２回偶数のときには、$-7$に$8$をたして、
$-7+8=1$
移動する。

こうして、全て偶数の場合の
$5\times 5=25$
になるまで$8$をたし続けると、表Ｂができる。

表Ｂで、図Ａの３つのパターンの
$n=16,1,-14$
を探すと、当てはまるのは赤い部分のひとつだけ。

以上より、５回の移動で${\mathrm{P}}_0$から${\mathrm{P}}_1$に動くのは、
偶数が２回、奇数が３回 出た場合だけである。

解答ア：２, イ：３

(2)より、
偶数が$4$回、奇数が$4$回式Ｆ の移動で${\mathrm{P}}_8$に到達できる。

性質Ａより、
偶数$4$回の移動は、偶数$4-3$回の移動と同じ なので、式Ｆの移動は
偶数が$1$回、奇数が$4$回 の移動と同じだ。

よって、さいころの目が
偶数が$1$回、奇数が$4$回、合計$5$回 のとき、$8$回より少ない回数で${\mathrm{P}}_8$に移動できる。

解答ク：１, ケ：４, コ：５

移動回数が$1$回～$7$回の場合を、(1)の解法２の方法で全部書くと、表Ｃができる。

かなりの作業量に見えるかも知れないけれど、$8$をたし続けるだけなので、表をつくるのに１分もかからない。

$15$以上と$-15$以下はムダに１周以上回っているので、最小移動回数を考えるときは無視していい。
表Ｃの考えなくていい数を消すと、表Ｄになる。

ここまできたら、ついでに表中の負の数に$15$をたして、点の番号にしてしまおう。
その方が見やすいし。

いま考えているのは、${\mathrm{P}}_8$への移動だった。
なので、表Ｅで$8$を探すと、当てはまるのは赤い部分だ。

このとき、表Ｅより、
移動回数が$5$ 偶数の回数が$1$ なので、
奇数の回数は$4$ である。

解答ク：１, ケ：４, コ：５

まず、最初に作った
$5x-3y=n$式Ｂ
の解を一組見つける。

式Ｃの両辺を$n$倍すると、
$5\times 2n-3\times 3n=n$
なので、式Ｂの解のひとつは

	$x=2n$	式Ｇ
	$y=3n$

である。

式Ｇを使って${\mathrm{P}}_{10}$～${\mathrm{P}}_{14}$の最小回数を求めるんだけど、その前にもうちょっと整理しておこう。

例えば${\mathrm{P}}_7$に移動する場合を考えると、
式Ｇに$n=7$を代入して、
偶数が$14$回，奇数が$21$回 出ればよいことが分かる。

この回数を性質Ａ，Ｂを使って減らすと、
偶数の回数の$14$から、$14$以下で最大の$3$の倍数である$12$を引いて、
$14-12=2$
より、
偶数$2$回 奇数の回数の$21$から、$21$以下で最大の$5$の倍数である$20$を引いて、
$21-20=1$
より、
偶数$1$回 で移動できることが分かる。

この作業は、考えてみれば
偶数の回数を$3$で割った余り 奇数の回数を$5$で割った余り を求めているのと同じだ。

以上より、式Ｇで$x$，$y$を求めて、
$x$を$3$で割った余りが、偶数の回数 $y$を$5$で割った余りが、奇数の回数 であることが分かる。性質Ｃ

性質Ｃを使って、${\mathrm{P}}_{10}$～${\mathrm{P}}_{14}$の最小回数を求めよう。

まず、$x$，$y$から。
${\mathrm{P}}_{10}$～${\mathrm{P}}_{14}$への移動$n$は

点	${\mathrm{P}}_{10}$	${\mathrm{P}}_{11}$	${\mathrm{P}}_{12}$	${\mathrm{P}}_{13}$	${\mathrm{P}}_{14}$
$n$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$

なので、これを式Ｇに代入すると、$x$，$y$は表Ｇのようになる。

性質Ｃより、表Ｇの $x$を$3$で割った余り（偶数の回数） $y$を$5$で割った余り（奇数の回数） を求めて、偶数と奇数の和、つまり最小回数を計算すると、表Ｈができる。

表Ｈより、最小回数が最も大きいのは
${\mathrm{P}}_{13}$
で、そのときの移動回数は、
$6$回
である。

解答サ：３, シ：６

あんまりお勧めじゃないけれど、${\mathrm{P}}_{10}$～${\mathrm{P}}_{14}$の最小回数を求めずに解くこともできる。

整数を
$3$で割った余りは$2$以下 $5$で割った余りは$4$以下 だ。

このことと 性質Ｃより、最小回数の
偶数の回数は$2$以下 奇数の回数は$4$以下 なので、すべての点の最小回数は
$6$以下 であることが分かる。

よって、いま求めている点の最小回数シは
シ$\leqq 6$
となる。

また、(3)で求めたように、${\mathrm{P}}_8$の最小回数が$5$だった。
いま問われている点サの最小回数は${\mathrm{P}}_8$より大きいはずだから、
$5<$シ
である。

以上より、
$5<$シ$\leqq 6$
なので、
シ$=6$
であることが分かる。

解答シ：６

ということで、最小回数が$6$になる点を探す。

最小回数が$6$になるのは、性質Ｃより、式Ｇの

	$x$を$3$で割った余りが$2$
	$y$を$5$で割った余りが$4$

のとき。

これに式Ｇを代入すると、

	$2n$を$3$で割った余りが$2$
	$3n$を$5$で割った余りが$4$

とかける。
これを満たす$n$を探す。

$2n$を$3$で割った余りが$2$
より、$p$を整数として、
$2n=3p+2$式Ｈ
両辺を$3$倍して、
$6n=9p+6$式Ｈ'
とかける。

$3n$を$5$で割った余りが$4$
より、$q$を整数として、
$3n=5q+4$
両辺を$2$倍して、
$6n=10q+8$式Ｉ
とかける。

式Ｈ'$=$式Ｉとすると、
$9p+6=10q+8$
より、一次不定方程式
$9p-10q=2$式Ｊ
ができる。

$p=q=1$のとき、
$9\cdot 1-10\cdot 1=-1$
だけど、この両辺を$-2$倍すると、
$9\cdot (-2)-10\cdot (-2)=2$
なので、

	$p=-2$	式Ｋ
	$q=-2$

は式Ｊの解のひとつだ。

この式Ｋを式Ｈに代入すると、
$2n=3\cdot (-2)+2$
$2n$$=-4$
$n=-2$
となるので、求める点サは、${\mathrm{P}}_0$から
$-2$ 移動した点、つまり
${\mathrm{P}}_{13}$ である。

解答サ：３

(4)は、全部書く方式の方が恐らく圧倒的に早い。

(3)の表Ｅをもう一回載せておいた。
表Ｅにある同じ数字のうち一番上が最小回数なので、印をつける。
例えば、$12$は１行目（緑の部分）と４行目（青い部分）にあるけど、上にある緑の方が${\mathrm{P}}_{12}$の最小回数なので、緑の方に印をつける。
すると、表Ｉができる。

印をつけた（表Ｉでは赤くした）数は$14$あるので、${\mathrm{P}}_1$～${\mathrm{P}}_{14}$がすべて含まれている。
このうち、一番下にあるのは$13$だ。

よって、最小回数が最も大きいのは
${\mathrm{P}}_{13}$
で、そのときの移動回数は、
$6$回
である。

解答サ：３, シ：６

最後に、あんまり数学的じゃない方法を載せておく。推理小説が好きな人とかには合った考え方かも知れない。
だけど、この方法が良いかどうかは別問題だ。
なので、興味がなければ読まなくても問題ない。

$3$回で${\mathrm{P}}_0$→${\mathrm{P}}_{14}$に移動できるので、
$3$回で$1$戻れる。（☆☆）
なので、
${\mathrm{P}}_{12}$に移動した後、$3$回で$1$戻った と考えると、${\mathrm{P}}_{11}$には$4$回の移動で到達できる。（図Ｌ）

以上より、選択肢のうち${\mathrm{P}}_{13}$以外は、$4$回以下の移動で到達できる。

(3)で${\mathrm{P}}_8$の最小回数は$5$回と分かっているから、$5$回より少ないものは答えじゃない。
なので、${\mathrm{P}}_{13}$以外は答えじゃない。

以上より、消去法で、最小回数が最も大きいのは
${\mathrm{P}}_{13}$
である。

解答サ：３

${\mathrm{P}}_{13}$の最小回数は、
${\mathrm{P}}_8$の最小回数の$5$回より多くなるはず （☆）（☆☆）より、$6$回で${\mathrm{P}}_{13}$に移動できるので、多くても$6$ だ。

つまり、${\mathrm{P}}_{13}$の最小回数は、$5$より大きく$6$以下の整数なので、
$6$回
であることが分かる。

解答シ：６