関数$f(x)$を微分して、
$f^{\prime }(x)=3x^2-10x+3$式Ａ

解答ア：３, イ：１, ウ：０, エ：３

なので、$f^{\prime }(x)=0$になるのは
$3x^2-10x+3=0$
$(3x-1)(x-3)=0$
より
$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$，$3$
のとき。

$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき、
$f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3-5{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}-4$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}& ={\displaystyle \frac{1}{3^3}}-5\cdot {\displaystyle \frac{3}{3^3}}+3\cdot {\displaystyle \frac{3^2}{3^3}}-4\cdot {\displaystyle \frac{3^3}{3^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-5\cdot 3+3\cdot 3^2-4\cdot 3^3}{3^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{-95}{3^3}}\end{array}$$

$\phantom{f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}=-{\displaystyle \frac{95}{27}}$

$x=3$のとき、
$$\begin{array}{rl}f(3)& =3^3-5\cdot 3^2+3\cdot 3-4\\ & =-13\end{array}$$

以上より増減表を書くと、

表Ａ

$x$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	-	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$-{\displaystyle \frac{95}{27}}$	$\searrow$	$-13$	$\nearrow$

となる。

表Ａより、$f(x)$の
極大値は$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき 極小値は$x=3$のとき であることが分かる。

解答オ：１, カ：３, キ：３

また、表Ａより、極小値は$x\geqq 0$の範囲に入って、
$f(3)=-13$
である。
また、
$f(0)=-4$
なので、$x\geqq 0$の範囲における$f(x)$の最小値は
$f(3)=-13$
である。

解答ク：－, ケ：１, コ：３

さらに、表Ａより、$f(x)$のグラフは図Ｂのようになるので、$x$軸との共有点は１個。
よって、$f(x)=0$の異なる実数解の個数も１個である。

解答サ：１

直線$\ell$と放物線$C$が、点$(a$，$3a-4)$で接するので、連立方程式
$\{\begin{array}{l}y=3x-4\\ y=x^2+px+q\end{array}$
は、$x=a$の重解をもつはずだ。

というわけで、連立方程式を解く。
二つの式で加減法をして、

	$y$	$=$	$x^2$	$+px$	$+q$
$-)$	$y$	$=$		$3x$	$-4$
	$0$	$=$	$x^2$	$+(p-3)x$	$+(q+4)$

より、方程式
$x^2+(p-3)x+(q+4)=0$式Ｂ
ができる。

この方程式が$x=a$の重解をもつので、
$(x-a{)}^2=0$
と因数分解出来るはず。
よって、これを展開した
$x^2-2ax+a^2=0$式Ｃ
と、式Ｂは同じ式であるはず。

なので、式Ｂと式Ｃの係数を比較して、
$\{\begin{array}{l}p-3=-2a\\ q+4=a^2\end{array}$
であることが分かる。
これを変形して、
$\{\begin{array}{l}p=-2a+3\\ q=a^2-4\end{array}$
となる。

解答セ：－, ソ：２, タ：３, チ：２, ツ：４

問題文より、放物線$C$は、図Ｃの紫のグラフか茶色いグラフのいずれかのような形になる。
ただし、軸の位置は図Ｃ通りとは限らない。

紫のグラフであれば、
$\{\begin{array}{l}g(0)<0\\ g(1)>0\end{array}$ 茶色いグラフであれば、
$\{\begin{array}{l}g(0)>0\\ g(1)<0\end{array}$ なので、どちらの場合でも
$g(0)g(1)<0$式Ｅ
になる。

放物線$C$の式、つまり$g(x)$は、
$g(x)=x^2+px+q$
に(2)の結果を代入して、
$g(x)=x^2+(-2a+3)x+(a^2-4)$式Ｆ
とかける。

$$\begin{array}{rl}g(0)& =a^2-4\\ & =(a-2)(a+2)\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}g(1)& =1+(-2a+3)+(a^2-4)\\ & =a^2-2a\\ & =a(a-2)\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ なので、式Ｅは
$a(a+2)(a-2{)}^2<0$式Ｅ'
となる。

解答テ：２, ト：２

ここで、$0\leqq (a-2{)}^2$だけど、
$(a-2{)}^2=0$
つまり
$a=2$
のとき、式Ｅ'は
$0<0$
となって成り立たない。
なので、
$a\ne 2$
のときだけ考える。

すると、
$0<(a-2{)}^2$
なので、式Ｅ'の両辺を$(a-2{)}^2$で割って、
$a(a+2)<0$
$-2<a<0$
である。

解答ナ：－, ニ：２, ヌ：０

以上より、
$a-2<0$ $a<0$ $0<a+2$ なので、式Ｇ，式Ｈから
$g(0)=$負$\times$正$<0$ $g(1)=$負$\times$負$>0$ である。

解答ネ：０, ノ：２

このことから、放物線$C$は、図Ｃの紫のグラフのような形であることが分かる。

問題文中の式${\displaystyle {\int }_0^{1}g(x)dx}$は、
${\displaystyle {\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^{\beta }g(x)dx+{\int }_{\beta }^{1}g(x)dx}$式Ｉ
とかける。

また、ネノより、放物線$C$と面積$S$，$T$の関係は、図Ｄのようになる。

（ただし、軸の位置は図Ｄ通りとは限らない。）

関数を定積分すると グラフと$x$軸の間の面積が出るけれど、$x$軸よりも下の面積は負の値になる。
なので、
${\displaystyle {\int }_0^{\beta }g(x)dx=-S}$ ${\displaystyle {\int }_{\beta }^{1}g(x)dx=T}$ と表せる。
よって、式Ｉは
${\displaystyle {\int }_0^{1}g(x)dx=-S+T}$式Ｉ'
とかける。

解答ハ：５

$S=T$のとき、式Ｉ'より、
${\displaystyle {\int }_0^{1}g(x)dx=0}$
なので、このときの$a$の値を求めよう。

上の式に式Ｆを代入して、
${\displaystyle {\int }_0^1{x}^2+(-2a+3)x+(a^2-4)dx=0}$
これを積分して、
${[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{-2a+3}{2}}{x}^2+(a^2-4)x]}_0^1=0$
${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{-2a+3}{2}}+(a^2-4)=0$
両辺に$6$をかけて分母を払って、
$2+3(-2a+3)+6(a^2-4)=0$
$6a^2-6a-13=0$

この式は因数分解出来ないから、しかたがないので解の公式だ。

$$\begin{array}{rl}a& ={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 6(-13)}}{2\cdot 6}}\\ & ={\displaystyle \frac{6\pm 2\sqrt{3^2+6\cdot 13}}{2\cdot 6}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{87}}{6}}\end{array}$$ となるけど、ナニヌより
$-2<a<0$
なので、
$a={\displaystyle \frac{3+\sqrt{87}}{6}}$
は不適。

よって、求める$a$は
$a={\displaystyle \frac{3-\sqrt{87}}{6}}$
である。

解答ヒ：３, フ：８, ヘ：７, ホ：６