関数$f(x)$を微分して、
$f'(x)=3x^{2}-10x+3$式Ａ

解答ア：３, イ：１, ウ：０, エ：３

なので、$f'(x)=0$になるのは
$3x^{2}-10x+3=0$
$(3x-1)(x-3)=0$
より
$x=\dfrac{1}{3}$，$3$
のとき。

$x=\dfrac{1}{3}$のとき、
$f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}-5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+3\cdot\dfrac{1}{3}-4$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}&=\dfrac{1}{3^{3}}-5\cdot\dfrac{3}{3^{3}}+3\cdot\dfrac{3^{2}}{3^{3}}-4\cdot\dfrac{3^{3}}{3^{3}}\\ &=\dfrac{1-5\cdot 3+3\cdot 3^{2}-4\cdot 3^{3}}{3^{3}}\\ &=\dfrac{-95}{3^{3}} \end{align} $$

$\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=-\dfrac{95}{27}$

$x=3$のとき、
$$ \begin{align} f(3)&=3^{3}-5\cdot 3^{2}+3\cdot 3-4\\ &=-13 \end{align} $$

以上より増減表を書くと、

表Ａ

$x$	$\cdots$	$\dfrac{1}{3}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	-	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$-\dfrac{95}{27}$	$\searrow$	$-13$	$\nearrow$

となる。

表Ａより、$f(x)$の
極大値は$x=\dfrac{1}{3}$のとき 極小値は$x=3$のとき であることが分かる。

解答オ：１, カ：３, キ：３

また、表Ａより、極小値は$x\geqq 0$の範囲に入って、
$f(3)=-13$
である。
また、
$f(0)=-4$
なので、$x\geqq 0$の範囲における$f(x)$の最小値は
$f(3)=-13$
である。

解答ク：－, ケ：１, コ：３

さらに、表Ａより、$f(x)$のグラフは図Ｂのようになるので、$x$軸との共有点は１個。
よって、$f(x)=0$の異なる実数解の個数も１個である。

解答サ：１

直線$\ell$と放物線$C$が、点$(a$，$3a-4)$で接するので、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l} y=3x-4\\ y=x^{2}+px+q \end{array}\right.$
は、$x=a$の重解をもつはずだ。

というわけで、連立方程式を解く。
二つの式で加減法をして、

	$y$	$=$	$x^{2}$	$+px$	$+q$
$-)$	$y$	$=$		$3x$	$-4$
	$0$	$=$	$x^{2}$	$+(p-3)x$	$+(q+4)$

より、方程式
$x^{2}+(p-3)x+(q+4)=0$式Ｂ
ができる。

この方程式が$x=a$の重解をもつので、
$(x-a)^{2}=0$
と因数分解出来るはず。
よって、これを展開した
$x^{2}-2ax+a^{2}=0$式Ｃ
と、式Ｂは同じ式であるはず。

なので、式Ｂと式Ｃの係数を比較して、
$\left\{\begin{array}{l} p-3=-2a\\ q+4=a^{2} \end{array}\right.$
であることが分かる。
これを変形して、
$\left\{\begin{array}{l} p=-2a+3\\ q=a^{2}-4 \end{array}\right.$
となる。

解答セ：－, ソ：２, タ：３, チ：２, ツ：４

問題文より、放物線$C$は、図Ｃの紫のグラフか茶色いグラフのいずれかのような形になる。
ただし、軸の位置は図Ｃ通りとは限らない。

紫のグラフであれば、
$\left\{\begin{array}{l} g(0) \lt 0\\ g(1) \gt 0 \end{array}\right.$ 茶色いグラフであれば、
$\left\{\begin{array}{l} g(0) \gt 0\\ g(1) \lt 0 \end{array}\right.$ なので、どちらの場合でも
$g(0)g(1) \lt 0$式Ｅ
になる。

放物線$C$の式、つまり$g(x)$は、
$g(x)=x^{2}+px+q$
に(2)の結果を代入して、
$g(x)=x^{2}+(-2a+3)x+(a^{2}-4)$式Ｆ
とかける。

$$ \begin{align} g(0)&=a^{2}-4\\ &=(a-2)(a+2)\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ $$ \begin{align} g(1)&=1+(-2a+3)+(a^{2}-4)\\ &=a^{2}-2a\\ &=a(a-2)\class{tex_formula}{式Ｈ} \end{align} $$ なので、式Ｅは
$a(a+2)(a-2)^{2} \lt 0$式Ｅ'
となる。

解答テ：２, ト：２

ここで、$0\leqq(a-2)^{2}$だけど、
$(a-2)^{2}=0$
つまり
$a=2$
のとき、式Ｅ'は
$0 \lt 0$
となって成り立たない。
なので、
$a\neq 2$
のときだけ考える。

すると、
$0 \lt (a-2)^{2}$
なので、式Ｅ'の両辺を$(a-2)^{2}$で割って、
$a(a+2) \lt 0$
$-2 \lt a \lt 0$
である。

解答ナ：－, ニ：２, ヌ：０

以上より、
$a-2 \lt 0$ $a \lt 0$ $0 \lt a+2$ なので、式Ｇ，式Ｈから
$g(0)=$負$\times$正$ \lt 0$ $g(1)=$負$\times$負$ \gt 0$ である。

解答ネ：０, ノ：２

このことから、放物線$C$は、図Ｃの紫のグラフのような形であることが分かる。

問題文中の式$\displaystyle \int_{0}^{1}g(x)\,dx$は、
$\displaystyle \int_{0}^{1}g(x)\,dx=\int_{0}^{\beta}g(x)\,dx+\int_{\beta}^{1}g(x)\,dx$式Ｉ
とかける。

また、ネノより、放物線$C$と面積$S$，$T$の関係は、図Ｄのようになる。

（ただし、軸の位置は図Ｄ通りとは限らない。）

関数を定積分すると グラフと$x$軸の間の面積が出るけれど、$x$軸よりも下の面積は負の値になる。
なので、
$\displaystyle \int_{0}^{\beta}g(x)\,dx=-S$ $\displaystyle \int_{\beta}^{1}g(x)\,dx=T$ と表せる。
よって、式Ｉは
$\displaystyle \int_{0}^{1}g(x)\,dx=-S+T$式Ｉ'
とかける。

解答ハ：５

$S=T$のとき、式Ｉ'より、
$\displaystyle \int_{0}^{1}g(x)\,dx=0$
なので、このときの$a$の値を求めよう。

上の式に式Ｆを代入して、
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2}+(-2a+3)x+(a^{2}-4)\,dx=0$
これを積分して、
$\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{-2a+3}{2}x^{2}+(a^{2}-4)x\right]_{0}^{1}=0$
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{-2a+3}{2}+(a^{2}-4)=0$
両辺に$6$をかけて分母を払って、
$2+3(-2a+3)+6(a^{2}-4)=0$
$6a^{2}-6a-13=0$

この式は因数分解出来ないから、しかたがないので解の公式だ。

$$ \begin{align} a&=\dfrac{6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 6(-13)}}{2\cdot 6}\\ &=\dfrac{6\pm 2\sqrt{3^{2}+6\cdot 13}}{2\cdot 6}\\ &=\dfrac{3\pm\sqrt{87}}{6} \end{align} $$ となるけど、ナニヌより
$-2 \lt a \lt 0$
なので、
$a=\dfrac{3+\sqrt{87}}{6}$
は不適。

よって、求める$a$は
$a=\dfrac{3-\sqrt{87}}{6}$
である。

解答ヒ：３, フ：８, ヘ：７, ホ：６