図Ａで、
$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{A}$の接線なので、
$\mathrm{BC}$⊥$\mathrm{AC}$

また、
$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$
だから、△$\mathrm{ABC}$は
$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={30}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={60}^{\circ }$
の直角三角形である。

よって、
$\mathrm{CA}:\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=1:2:\sqrt{3}$
なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\sin \mathrm{\angle }{30}^{\circ }=\frac{1}{2}}$
である。

解答ア：３, ウ：１, エ：２

また、△$\mathrm{BCD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}$が直角の直角三角形なので、三平方の定理の定理より、
${\mathrm{BD}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CD}}^2$
さらに、$\mathrm{AD}$は円$\mathrm{A}$の半径なので、
$\mathrm{AD}=1$
以上より、
${\mathrm{BD}}^2={\sqrt{3}}^2+(1+1{)}^2$
${\mathrm{BD}}^2$$=3+4$
${\mathrm{BD}}^2$$=7$
$0<\mathrm{BD}$なので、
$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$
である。

解答イ：７

次は、△$\mathrm{ABD}$の外接円の半径を求める。
外接円の半径を求める方法は２つあって、

復習

△$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$，面積を$S$とすると、
${\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}}=\frac{b}{\sin \mathrm{B}}=\frac{c}{\sin \mathrm{C}}=2R}$   正弦定理
$S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$   面積の公式
だった。

△$\mathrm{ABD}$の面積は分からないので、今は正弦定理を使おう。

$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}={60}^{\circ }$
なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAD}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$
また、イより$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$

よって、外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より
${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAD}}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R}$
分母分子を$2$倍して、
$2R={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$
$R={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$式Ａ
分母を有理化して、
$R={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{3}}$式Ｂ
である。

解答オ：２, カ：１, キ：３

次に$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}$だ。
△$\mathrm{BDO}$は、
$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$ $\mathrm{BO}=\mathrm{DO}=$円$\mathrm{O}$の半径 で、３辺の値が分かっている。
なので、余弦定理を使おう。
${\mathrm{BD}}^2={\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{DO}}^2-2\mathrm{BO}\cdot \mathrm{DO}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}$
に$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$と式Ａを代入して、
${\sqrt{7}}^2={\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)}^2-2\cdot \left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}$
両辺に${\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)}^2$をかけて、
${\sqrt{3}}^2=1+1-2\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}$
$2\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}=1+1-{\sqrt{3}}^2$
$2\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}=-1$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOD}=-\frac{1}{2}}$
となる。

解答ク：－, ケ：１, コ：２

アドバイス

ここでは、外接円の半径の値を、式Ｂの${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{3}}$ではなく、式Ａの${\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}$を使った。
代入して計算するときは、分母を有理化する前の値を使った方が計算が楽なことが多い。

最後に、${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{OC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{OD}}}$を求めよう。
$\mathrm{\angle }\mathrm{AOC}$と$\mathrm{\angle }\mathrm{COD}$が含まれる三角形をさがすと、
$\mathrm{\angle }\mathrm{AOC}$は図Ｃの緑の三角形 $\mathrm{\angle }\mathrm{COD}$は図Ｃの赤い三角形 が考えられる。

$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AD}$は円$\mathrm{A}$の半径なので、
$\mathrm{CA}:\mathrm{CD}=1:2$
だから、緑の三角形と赤い三角形の面積比も
緑$:$赤$=1:2$
である。

また、$\mathrm{AO}$，$\mathrm{DO}$は円$\mathrm{O}$の半径なので、これを$R$とおくと、
緑の三角形の面積は、
緑$={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}}$ 赤い三角形の面積は、
赤$={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin \mathrm{\angle }\mathrm{COD}}$ と表せる。

以上より、
${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}:\frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin \mathrm{\angle }\mathrm{COD}=1:2}$
$2{\displaystyle \times \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}=\frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin \mathrm{\angle }\mathrm{COD}}$
両辺を${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R}$で割って、
$2\sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{COD}$
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{COD}\ne 0$なので、両辺を$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{COD}$で割って、
$2{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{OC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{OD}}=1}$
${\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{OC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{OD}}=\frac{1}{2}}$
となる。

解答サ：１, シ：２