一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

式①を変形して
$21x-16y=-1$式①'
を解く。

$x$と$y$の係数の$21$と$16$でユークリッドの互除法を行うと、
$21÷16=1\dots 5$式Ａ1
$16÷5=3\dots 1$式Ａ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$21-16\cdot 1=5$式Ａ1'
$16-5\cdot 3=1$式Ａ2'

式Ａ2'に式Ａ1'を代入して、
$16-(21-16\cdot 1)\cdot 3=1$
$16-21\cdot 3+16\cdot 3=1$
$21\cdot (-3)+16\cdot 4=1$
ができる。

これを式①'の方程式に合わせよう。
係数の符号をあわせて、
$21\cdot (-3)-16\cdot (-4)=1$
両辺に$-1$をかけて、
$21\cdot 3-16\cdot 4=-1$

式①'からこの式を辺々引くと、

	$21x$	$-16y$	$=$	$-1$
$-)$	$21\cdot 3$	$-16\cdot 4$	$=$	$-1$
	$21(x-3)$	$-16(y-4)$	$=$	$0$

となるから、
$21(x-3)=16(y-4)$式Ｂ
とかける。

ここで、$21$と$16$は互いに素なので、式Ｂが成り立つためには、$m$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-3=16m\\ y-4=21m\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=16m+3\\ y=21m+4\end{array}$式Ｃ
でなければならない。

ここでは、解のうち$|x|$が最小のものを問われているので、$x=0$付近を探せばよい。
式Ｃに$x=0$を代入して、
$16m+3=0$
$m=-{\displaystyle \frac{3}{16}}$
$m$は整数なので、$-{\displaystyle \frac{3}{16}}$に一番近い整数のとき、$|x|$は最小になる。
よって、$m=0$のとき、
式Ｃより、
$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$

解答ア：３, イ：４

また、ウエオカの式は、式Ｃの$m$を$s$と書き換えた
$\{\begin{array}{l}x=3+16s\\ y=4+21s\end{array}$式Ｄ
となる。

解答ウ：１, エ：６, オ：２, カ：１

問題文の指示通り、式②に$y=4+21s$を代入すると、
$16(4+21s)+12=96z+28$

途中式

両辺を４で割って、
$4(4+21s)+3=24z+7$
$16+4\cdot 21s+3=24z+7$
$24z-4\cdot 21s=16+3-7$
$24z-4\cdot 21s=12$

$2z-7s=1$③
と変形できる。

解答キ：２, ク：７

式③も一次不定方程式なので、まず解をひと組求める。
式①を解いたように互除法を使ってもいいんだけど、今回は係数が小さい数なので、ちょっと考えれば解が見つかりそうだ。
$2z$と$7s$の差が$1$になる数を考えると、
$z=4$，$s=1$
が思いつく。これが解のひとつだ。

これを式③に代入して、
$2\cdot 4-7\cdot 1=1$
この式を式③から辺々引いて、

	$2z$	$-7s$	$=$	$1$
$-)$	$2\cdot 4$	$-7\cdot 1$	$=$	$1$
	$2(z-4)$	$-7(s-1)$	$=$	$0$

より、
$2(z-4)=7(s-1)$式Ｅ
とかける。

ここで、$2$と$7$は互いに素なので、式Ｅが成り立つためには、$\ell$を整数として、
$\{\begin{array}{l}z-4=7\ell \\ s-1=2\ell \end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}z=4+7\ell \\ s=1+2\ell \end{array}$式Ｆ
でなければならない。

ここは、解のうち$|z|$が最小のものを問われているので、$z=0$付近を探せばよい。
式Ｆに$z=0$を代入して、
$4+7\ell =0$
$\ell =-{\displaystyle \frac{4}{7}}$
$\ell$は整数なので、$-{\displaystyle \frac{4}{7}}$に一番近い整数のとき、$|z|$は最小になる。
よって、$\ell =-1$のとき、
式Ｆより、
$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-1\end{array}$

解答ケ：－, コ：３, サ：－, シ：１

ここで、式Ｆについて考えてみる。
式Ｆの意味は「方程式③の解は、先に見つけたひとつの解$z=4$，$s=1$に、それぞれ$7\ell$，$2\ell$をたしたものである」ということ。
なので、方程式③の解は、ケコサシで見つけた$z=-3$，$s=-1$をひとつの解として
$\{\begin{array}{l}z=-3+7t\\ s=-1+2t\end{array}$式Ｇ
とも書けると考えられる。（$t$は整数）

解答ス：７, セ：２

$s=-1+2t$を式Ｄに代入すると、
$\{\begin{array}{l}x=3+16(-1+2t)\\ y=4+21(-1+2t)\end{array}$
より、
$\{\begin{array}{l}x=-13+32t\\ y=-17+42t\end{array}$式Ｈ
である。

解答ソ：－, タ：１, チ：３, ツ：３, テ：２, ト：－, ナ：１, ニ：７, ヌ：４, ネ：２

(1)より、
$x=-13+32t$
なので、これを$n$の式に代入して、
$$\begin{array}{rl}n& =21(-13+32t)+13\\ & =-260+672t\mathrm{式}Ｉ\end{array}$$ である。
ここで、$n$は自然数なので、
$0<-260+672t$
$260<672t$
${\displaystyle \frac{260}{672}}<t$
$t$は整数なので、
$1\leqq t$
である。

式Ｉより、$t$小さいほど$n$も小さくなるので、求める$n$は$t$が最小のとき。
よって、$t=1$のとき、
$$\begin{array}{rl}n& =-260+672\\ & =412\end{array}$$ となる。

解答ノ：４, ハ：１, ヒ：２