一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

式①を変形して
$21x-16y=-1$式①'
を解く。

$x$と$y$の係数の$21$と$16$でユークリッドの互除法を行うと、
$21\div16=1\ldots5$式Ａ1
$16\div5=3\ldots1$式Ａ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$21-16\cdot1=5$式Ａ1'
$16-5\cdot3=1$式Ａ2'

式Ａ2'に式Ａ1'を代入して、
$16-(21-16\cdot 1)\cdot 3=1$
$16-21\cdot 3+16\cdot 3=1$
$21\cdot(-3)+16\cdot4=1$
ができる。

これを式①'の方程式に合わせよう。
係数の符号をあわせて、
$21\cdot(-3)-16\cdot(-4)=1$
両辺に$-1$をかけて、
$21\cdot3-16\cdot4=-1$

式①'からこの式を辺々引くと、

	$21x$	$-16y$	$=$	$-1$
$-)$	$21\cdot3$	$-16\cdot4$	$=$	$-1$
	$21(x-3)$	$-16(y-4)$	$=$	$0$

となるから、
$21(x-3)=16(y-4)$式Ｂ
とかける。

ここで、$21$と$16$は互いに素なので、式Ｂが成り立つためには、$m$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-3=16m\\y-4=21m\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}x=16m+3\\y=21m+4\end{array}\right.$式Ｃ
でなければならない。

ここでは、解のうち$|x|$が最小のものを問われているので、$x=0$付近を探せばよい。
式Ｃに$x=0$を代入して、
$16m+3=0$
$m=\displaystyle -\frac{3}{16}$
$m$は整数なので、$ \displaystyle -\frac{3}{16}$に一番近い整数のとき、$|x|$は最小になる。
よって、$m=0$のとき、
式Ｃより、
$\left\{\begin{array}{l}
x=3\\
y=4
\end{array}\right.$

解答ア：３, イ：４

また、ウエオカの式は、式Ｃの$m$を$s$と書き換えた
$\left\{\begin{array}{l}
x=3+16s\\
y=4+21s
\end{array}\right.$式Ｄ
となる。

解答ウ：１, エ：６, オ：２, カ：１

問題文の指示通り、式②に$y=4+21s$を代入すると、
$16(4+21s)+12=96z+28$

途中式

両辺を４で割って、
$4(4+21s)+3=24z+7$
$16+4\cdot 21s+3=24z+7$
$24z-4\cdot 21s=16+3-7$
$24z-4\cdot 21s=12$

$2z-7s=1$③
と変形できる。

解答キ：２, ク：７

式③も一次不定方程式なので、まず解をひと組求める。
式①を解いたように互除法を使ってもいいんだけど、今回は係数が小さい数なので、ちょっと考えれば解が見つかりそうだ。
$2z$と$7s$の差が$1$になる数を考えると、
$z=4$，$s=1$
が思いつく。これが解のひとつだ。

これを式③に代入して、
$2\cdot 4-7\cdot 1=1$
この式を式③から辺々引いて、

	$2z$	$-7s$	$=$	$1$
$-)$	$2\cdot 4$	$-7\cdot 1$	$=$	$1$
	$2(z-4)$	$-7(s-1)$	$=$	$0$

より、
$2(z-4)=7(s-1)$式Ｅ
とかける。

ここで、$2$と$7$は互いに素なので、式Ｅが成り立つためには、$\ell$を整数として、
$\left\{\begin{array}{l}
z-4=7\ell\\
s-1=2\ell
\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}
z=4+7\ell\\
s=1+2\ell
\end{array}\right.$式Ｆ
でなければならない。

ここは、解のうち$|z|$が最小のものを問われているので、$z=0$付近を探せばよい。
式Ｆに$z=0$を代入して、
$4+7\ell=0$
$\displaystyle \ell=-\frac{4}{7}$
$\ell$は整数なので、$\displaystyle -\frac{4}{7}$に一番近い整数のとき、$|z|$は最小になる。
よって、$ \ell = -1$のとき、
式Ｆより、
$\left\{\begin{array}{l}
x=-3\\
y=-1
\end{array}\right.$

解答ケ：－, コ：３, サ：－, シ：１

ここで、式Ｆについて考えてみる。
式Ｆの意味は「方程式③の解は、先に見つけたひとつの解$z=4$，$s=1$に、それぞれ$ 7\ell$，$ 2\ell$をたしたものである」ということ。
なので、方程式③の解は、ケコサシで見つけた$z=-3$，$s=-1$をひとつの解として
$\left\{\begin{array}{l}
z=-3+7t\\
s=-1+2t
\end{array}\right.$式Ｇ
とも書けると考えられる。（$t$は整数）

解答ス：７, セ：２

$s=-1+2t$を式Ｄに代入すると、
$\left\{\begin{array}{l}
x=3+16(-1+2t)\\
y=4+21(-1+2t)
\end{array}\right.$
より、
$\left\{\begin{array}{l}
x=-13+32t\\
y=-17+42t
\end{array}\right.$式Ｈ
である。

解答ソ：－, タ：１, チ：３, ツ：３, テ：２, ト：－, ナ：１, ニ：７, ヌ：４, ネ：２

(1)より、
$x=-13+32t$
なので、これを$n$の式に代入して、
$n=21(-13+32t)+13$
$n$$=-260+672t$式Ｉ
である。
ここで、$n$は自然数なので、
$0 \lt -260+672t$
$260 \lt 672t$
$\displaystyle \frac{260}{672} \lt t$
$t$は整数なので、
$1\leqq t$
である。

式Ｉより、$t$小さいほど$n$も小さくなるので、求める$n$は$t$が最小のとき。
よって、$t=1$のとき、
$n=-260+672$
$n$$=412$
となる。

解答ノ：４, ハ：１, ヒ：２