確率の問題は、可能ならば表を書いて、見て考えるのがおすすめ。
だけど、この問題の場合は16列$\times$16行の表になってしまうので、書くのもマスを数えるのも大変だし、センター試験本番では用紙も限られているからちょっと難しいかも。
なので、ここでは計算で解く方法を解説した。

問題文中に「少なくとも」とあるので、全体から反則の場合（排反事象）を引こう。
反則は、
全部数字１以外が出る 数字１が１回出る である。

全部数字１以外が出る確率は
$\left(\frac{3}{4}\right)^{4}$

数字１が１回出る確率は
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}$
または
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\cdot\frac{4!}{3!}$

確率なので、全体は$1$

以上より、求める確率は
$1-\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^{4}+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\cdot 4\right\}$

途中式

$=1-\displaystyle \frac{3^{4}+3^{3}\cdot 4}{4^{4}}$
$=1-\displaystyle \frac{3^{3}(3+4)}{4^{4}}$
$=1-\displaystyle \frac{3^{3}\cdot 7}{4^{4}}$
$=1-\displaystyle \frac{189}{256}$

$=\displaystyle \frac{67}{256}$
である。

解答カ：６, キ：７, ク：２, ケ：５, コ：６

こういう問題は、ひとつの例の確率を考えて、それに並べ替える場合の数をかける。

ひとつの例として
１２３４
の順に出る確率を考えると、
１回目に数字１が出る確率は
$\displaystyle \frac{1}{4}$
２回目に数字２が出る確率も
$\displaystyle \frac{1}{4}$
以下、３回目に数字３が出る確率も、４回目に数字４が出る確率も
$\displaystyle \frac{1}{4}$
なので、この例が起こる確率は
$\left(\frac{1}{4}\right)^{4}$
である。

けれど、問題で問われているのは、４回の試行で１から４までのすべての数字が現れる確率なので、
１２３４
の順に出なくてもいい。
この４つの数字を並べ替える場合の数は
$4!$
である。

以上より、求める確率は
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{4}\cdot 4!=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4^{4}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{4}\cdot 4!$$\displaystyle =\frac{3}{4^{2}\cdot 2}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{4}\cdot 4!$$\displaystyle =\frac{3}{32}$
である。

解答サ：３, シ：３, ス：２

ここで、条件付き確率の復習をしておくと、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$、事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
だった。

この問題の場合、
$P(A)$は４回繰り返してもどれかの数字が現れない確率確率Ａ $P(A\cap B)$は、５回目にはじめて４つの数字すべてが出る確率確率Ｂ なので、
$\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソタ}}=\frac{\text{確率Ｂ}}{\text{確率Ａ}}$式Ａ
だ。

確率Ａはサシスの余事象だから、
$1-\displaystyle \frac{3}{32}=\frac{29}{32}$式Ｂ
である。

一方、確率Ｂはちょっと考えないといけない。

５回目にはじめて４つの数字すべてが出るのは、
４回目の段階で、数字が３種類出ている事象Ｂ1 ５回目に、残りの数字が出る事象Ｂ2 場合。
このそれぞれの確率を求めて、かけ算をしよう。

まず、事象Ｂ1の確率を求める。

数字が３種類出るから、ひとつの数字は２回出ないといけない。
２回出る数字の選び方は
${}_{4}\mathrm{C}_{1}$式Ｃ
通り。

残り２回は、別の数字が１回ずつ出ないといけない。
４つの数字のうち１つは「２回出る数字」に使ってしまったので、選び方は、
${}_{3}\mathrm{C}_{2}$式Ｄ
通り。

２回出る数字を□、１回ずつ出る数字を○と△で表すと、□□○△の順に出る確率は、
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}$式Ｅ

でも、出る順番は、□□○△の順でなくても、○□△□の順でも、別の順でもいい。
□□○△の並べ方は
${}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}$
または
$\displaystyle \frac{4!}{2!}$式Ｆ

以上より、事象Ｂ1の確率は、式Ｃ，式Ｄ，式Ｅ，式Ｆをかけて、
${}_{4}\mathrm{C}_{1}\displaystyle \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{4!}{2!}$
$=\displaystyle \frac{4\cdot 3\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4^{4}\times 2\cdot 1}$
$=\displaystyle \frac{3^{2}}{4^{2}}$式Ｇ
である。

一方、事象Ｂ2の確率は
$\displaystyle \frac{1}{4}$式Ｈ
なので、式Ａの分子の確率Ｂは
$\displaystyle \frac{3^{2}}{4^{2}}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3^{2}}{4^{3}}$式Ｉ
となる。