大学入試センター試験 2017年(平成29年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [3] 解説

チ

問題文中の、Ａ組の得点とw―の差の２乗の和の式を展開すると、
チ=(x1−w―)2+(x2−w―)2+⋯+(xm−w―)2
   ={x12−2x1w―+(w―)2}+{x22−2x2w―+(w―)2}+
              ⋯+{xm2−2xmw―+(w―)2}
   =(x12+x22+⋯+xm2)
           −2w―(x1+x2+⋯+xm)
              +{(w―)2+(w―)2+⋯+(w―)2}
   =(x12+x22+⋯+xm2)
         −2w―(x1+x2+⋯+xm)+m(w―)2式Ａ
とかける。

また、問題文中のSA2の式を変形すると、
SA2=1m(x12+x22+⋯+xm2)−(x―)2
1m(x12+x22+⋯+xm2)=SA2+(x―)2
x12+x22+⋯+xm2=m{SA2+(x―)2}式Ｂ
となる。

さらに、Ａ組の平均点x―は、
x―=1m(x1+x2+⋯+xm)
である。これを変形すると、
x1+x2+⋯+xm=mx―式Ｃ
となる。

式Ａの赤い部分は式Ｂと、青い部分は式Ｃと等しいから、それぞれ代入して、
チ=(x1−w―)2+(x2−w―)2+⋯+(xm−w―)2
   =m{SA2+(x―)2}−2w―mx―+m(w―)2
これを変形すると、
チ=m{SA2+(x―)2−2w―⋅x―+(w―)2}
   =m{SA2+(x―−w―)2}
   =mSA2+m(x―−w―)2
となるので、正解は③である。

解答チ：３

ツ

以上より、Ａ組の得点とw―の差の２乗の和は
mSA2+m(x―−w―)2式Ｄ
とかける。

このことから、Ｂ組の得点とw―の差の２乗の和は、式Ｄの
組の分散SAをSBに 組の平均点x―をy―に 組の人数mをnに おきかえた、
nSB2+n(y―−w―)2式Ｅ
であると考えられる。

分散は偏差の２乗の平均なので、得点とw―の差の２乗の平均。
また、
Ａ組の得点とw―の差の２乗の和は式Ｄ Ｂ組の得点とw―の差の２乗の和は式Ｅ だから、式Ｄと式Ｅをたして、人数(m+n)で割れば、分散S2になる。
よって、
S2=式Ｄ+式Ｅm+n式Ｆ
とかける。

式がややこしくて面倒なので、式Ｆの分子の、式Ｄ+式Ｅ の部分だけ計算すると、
分子=mSA2+m(x―−w―)2+nSB2+n(y―−w―)2
      =mSA2+m{(x―)2−2x―⋅w―+(w―)2}
               +nSB2+n{(y―)2−2y―⋅w―+(w―)2}
      =mSA2+m(x―)2−2mx―⋅w―+m(w―)2
               +nSB2+n(y―)2−2ny―⋅w―+n(w―)2
      =mSA2+nSB2+m(x―)2+n(y―)2
               +m(w―)2+n(w―)2−2mx―⋅w―−2ny―⋅w―
      =mSA2+nSB2+m(x―)2+n(y―)2+(m+n)(w―)2
               −2w―(mx―+ny―)式Ｇ

ここで、式Ｇの赤い部分について考えてみると、
mx―はＡ組の人数×平均点だから、Ａ組の合計点 ny―はＢ組の人数×平均点だから、Ｂ組の合計点 なので、mx―+ny―は両方の組の合計点である。
よって、
mx―+ny―=(m+n)w―
とかける。

これを式Ｇに代入して、
分子=mSA2+nSB2+m(x―)2+n(y―)2
               +(m+n)(w―)2−2w―(m+n)w―
      =mSA2+nSB2+m(x―)2+n(y―)2
               +(m+n)(w―)2−2(m+n)(w―)2
      =mSA2+nSB2+m(x―)2+n(y―)2−(m+n)(w―)2
なので、式Ｆとあわせて、
S2=mSA2+nSB2+m(x―)2+n(y―)2−(m+n)(w―)2m+n
となる。
よって、正解は④である。

解答ツ：４