命題ＡもＢも反例が簡単に見つかりそうなので、その方針で解いてみよう。

命題Ａの反例は、
$a$が無理数のとき、$1+a^2$が有理数$b$の２乗である
場合。
有理数の例として整数を考えると、例えば$b=2$のとき、
$1+a^2=2^2$
$a^2=3$
$a=\pm \sqrt{3}$
となり、反例ができた。
反例が存在するので、命題Ａは偽である。

命題Ｂの反例は、
$a$が有理数のとき、$1+a^2$が無理数$b$の２乗である
場合。
さっきと同じように、有理数の例として整数を考えると、例えば$a=2$のとき、
$1+2^2=b^2$
$b^2=5$
$b=\pm \sqrt{5}$
となり、反例ができた。
反例が存在するので、命題Ｂも偽である。

解答シ：３

問題では$b$の範囲が$a$で表されているので、$b$についての数直線を描く。
このとき$a$は数字だと考えよう。

⓪

$a-1\leqq b\leqq a+1$の集合をＡ
$a=b$の集合をＢ
とすると、図Ａのような数直線がかける。

図の固定

図Ａより、集合Ａは集合Ｂを含んでいる。
なので、上の復習より、ＡはＢであるための必要条件。
よって、⓪は誤りである。

①

$a-2\leqq b\leqq a+2$の集合をＡ
$a-1\leqq b\leqq a+1$の集合をＢ
とすると、図Ｂのような数直線がかける。

図の固定

図Ｂより、集合Ａは集合Ｂを含んでいる。
なので、上の復習より、ＡはＢであるための必要条件。
よって、①は正しい。

②，③は、逆・裏・待遇の問題。
念のために復習しておくと、

②

上の復習より、$\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$の逆は$\mathrm{A}\Leftarrow \mathrm{B}$なので、
命題の逆は
「$(a=1$かつ$b=1)\Rightarrow a-1\leqq b\leqq a+1$」
である。
よって、②は誤りである。

また、式Ｂの結論の部分は、$a-1\leqq b\leqq a+1$以外の部分、つまり図Ｃの数直線の赤い部分なので、
$b<a-1$または$a+1<b$
とかける。

図の固定

以上より、式Ａは
$(a\ne 1$または$b\ne 1)\Rightarrow (a-1>b$または$b>a+1)$
となるから、③は正しい。