図Ａにおいて、$\mathrm{BA}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{CBD}$の二等分線なので、
$\mathrm{AC}:\mathrm{AD}=\mathrm{BC}:\mathrm{BD}$
なので、
$2:\mathrm{AD}=3:\mathrm{BD}$
とかける。これを変形して、
$3\mathrm{AD}=2\mathrm{BD}$

両辺を$3\mathrm{BD}$で割って、
${\displaystyle \frac{3\mathrm{AD}}{3\mathrm{BD}}=\frac{2\mathrm{BD}}{3\mathrm{BD}}}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{2}{3}}$式Ａ
である。

解答ア：２, イ：３

図Ａにおいて、○のついた角は等しいので、
△$\mathrm{DAB}$∽△$\mathrm{DBC}$
であり、相似比は
$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=2:3$
である。
よって、
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=2:3$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{2}{3}}$式Ｂ
である。

解答ウ：２, エ：３

問題文中の式
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}}$
に式Ａ，式Ｂを代入して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}}$${\displaystyle =\frac{4}{9}}$
より、
$9\mathrm{AD}=4\mathrm{CD}$式Ｃ
であることが分かる。

ここで、$\mathrm{AC}=2$なので、
$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}-2$式Ｄ
とかけるから、これを式Ｃに代入して、
$9(\mathrm{CD}-2)=4\mathrm{CD}$
$9\mathrm{CD}-18=4\mathrm{CD}$
$5\mathrm{CD}=18$
${\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{18}{5}}$
である。

解答オ：１, カ：８, キ：５

アドバイス

式Ｄのかわりに
$\mathrm{CD}=\mathrm{AD}+2$
として、式Ｃに代入して$\mathrm{AD}$を求める方法も考えられるけど、問われているのが$\mathrm{CD}$なので、あんまりおすすめじゃない。
一生懸命に方程式を解いているうちに、求めなきゃいけないのは$\mathrm{CD}$ってことを忘れてしまうことが多いのだ。
今回は$\mathrm{AD}$だと問題文中のマスに合わないので気づくけど、それでもびっくりしたり計算間違いじゃないかって思ったり、入試本番で動揺することにつながりがち。
なので、可能な限り、問われている値を求める式を作ろう。

図Ｂにおいて、直線$\mathrm{EB}$は円$\mathrm{O}$の接線なので、接弦定理より
$\mathrm{\angle }\mathrm{DBE}=\mathrm{\angle }\mathrm{DCB}$
である。
また、図中の○のついた角は等しいので、
${\displaystyle \mathrm{\angle }\mathrm{DBE}=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }\mathrm{ABE}}$
である。

解答ク：１, ケ：２

このことから、$\mathrm{BD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{ABE}$の二等分線なので、
$\mathrm{DA}:\mathrm{DE}=\mathrm{BA}:\mathrm{BE}$式Ｅ
であることが分かる。

$\mathrm{DA}=\mathrm{CD}-2$ オカキより${\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{18}{5}}$ なので、
${\displaystyle \mathrm{DA}=\frac{18}{5}-2}$
${\displaystyle \mathrm{DA}}$${\displaystyle =\frac{8}{5}}$式Ｆ
である。
また、$\mathrm{BA}=2$なので、式Ｅは
${\displaystyle \frac{8}{5}:\mathrm{DE}=2:\mathrm{BE}}$
とかける。

これを変形して、
${\displaystyle 2\mathrm{DE}=\frac{8}{5}\mathrm{BE}}$
${\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{4}{5}\mathrm{BE}}$
両辺を$\mathrm{BE}$で割って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BE}}=\frac{4}{5}}$
である。

解答コ：４, サ：５

△$\mathrm{ABC}$について、$\mathrm{\angle }\mathrm{A}$の外角は$\mathrm{\angle }\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{C}$なので、○$\times 2$。
クケの式から、$\mathrm{\angle }\mathrm{ABE}$も○$\times 2$。
よって、△$\mathrm{EAB}$は二等辺三角形である。
以上より、
$\mathrm{BE}=\mathrm{AE}$
である。

解答シ：２

ややこしくなってきたので、ちょっと整理しよう。

コサより、
$\mathrm{DE}:\mathrm{BE}=4:5$ シより、
$\mathrm{BE}=\mathrm{AE}$ 式Ｆより、
${\displaystyle \mathrm{DA}=\frac{8}{5}}$ であることが分かっている。
これを図に記入すると、図Ｃのようになる。

図Ｃより、
$\mathrm{AD}:\mathrm{DE}=1:4$
$\mathrm{DE}=4\mathrm{AD}$
${\displaystyle \mathrm{DE}}$${\displaystyle =4\cdot \frac{8}{5}}$
${\displaystyle \mathrm{DE}}$${\displaystyle =\frac{32}{5}}$
である。

解答ス：３, セ：２, ソ：５

最後に$\mathrm{FM}$と$\mathrm{EF}$の比率を求める。
比率なので、まず相似が考えられるけど、$\mathrm{FM}$や$\mathrm{EF}$が辺である相似な図形は見当たらない。
なので、次に考えられるのはチェバの定理とメネラウスの定理だ。

図Ｄの赤い三角形と緑の線について、メネラウスの定理より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CD}}\cdot \frac{\mathrm{FM}}{\mathrm{EF}}\cdot \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MB}}=1}$
とかける。
これに、それぞれの値を代入して、
${\displaystyle \frac{\frac{32}{5}}{2+\frac{8}{5}}\cdot \frac{\mathrm{FM}}{\mathrm{EF}}\cdot \frac{3}{\frac{3}{2}}=1}$
${\displaystyle \frac{32}{18}\cdot \frac{\mathrm{FM}}{\mathrm{EF}}\cdot \frac{2}{1}=1}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{FM}}{\mathrm{EF}}=\frac{18}{32}\cdot \frac{1}{2}}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{FM}}{\mathrm{EF}}}$${\displaystyle =\frac{9}{32}}$
となる。

解答タ：９, チ：３, ツ：２