真数条件より、真数は正なので
$0<3^x-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x$
という式ができる。

アドバイス

指数・対数の問題では、まず底をそろえるのが基本。

ということで、まず底をそろえよう。
$0<3^x-(3^{-1}{)}^x$
$0<3^x-3^{-x}$
これを変形して
$3^{-x}<3^x$
底の$3$は$1$より大きいので、
$-x<x$
$0<2x$
$0<x$
である。

解答ツ：０

また、$x<y$のとき、

式Ｂの両辺に$-1$をかけて、
$-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x<-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y$
これと式Ａを辺々たして、

	$3^x$	$<$	$3^y$
$+)$	$-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x$	$<$	$-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y$
	$3^x-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x$	$<$	$3^y-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y$

この式の、底が$3$の対数をとる。
底$3$は$1$より大きいので、不等号の向きは変わらない。
${\log }_3\{3^x-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x\}<{\log }_3\{3^y-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y\}$
よって、
$p<q$
である。

解答ナ：０

ここで、$p$の式を整理しておこう。
$$\begin{array}{rl}p& ={\log }_3\{3^x-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x\}\\ & ={\log }_3(3^x-{\displaystyle \frac{1}{3^x}})\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ とかける。
ちょっと式が簡単になった。

今は
$x={\log }_{3}4$
のときを考えるんだけど、これをそのまま$p$の式に代入すると面倒なことになりそう。
なので、少し変形しておこう。

復習

$a^b=c\iff {\log }_{a}c=b$
だった。

これを憶えていれば、上の式は
$3^x=4$式Ｄ
と簡単に分かる。

この方法が思いつかないときは、ちょっと計算をしないといけない。
$x={\log }_{3}4$
の式は変形出来ない。
理由は、右辺は対数で左辺はそうじゃないから。
なら、左辺も対数にしよう、ってのが基本的な考えだ。

${\log }_{3}3=1$
なので、$x$にかけても値は変わらない。
$x\times {\log }_{3}3={\log }_{3}4$
${\log }_3{3}^x={\log }_{3}4$
だから、
$3^x=4$式Ｄ
である。

式Ｄを式Ｃに代入して、
$p={\log }_3(4-{\displaystyle \frac{1}{4}})$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{p}& ={\log }_3{\displaystyle \frac{15}{4}}\\ & ={\log }_3{\displaystyle \frac{3\cdot 5}{4}}\\ & ={\log }_{3}3+{\log }_{3}5-{\log }_{3}4\\ & ={\log }_{3}3+{\log }_{3}5-{\log }_3{2}^2\\ & =1+{\log }_{3}5-2{\log }_{3}2\end{array}$$

$\phantom{p}={\log }_{3}5-2{\log }_{3}2+1$
となる。

解答ニ：５, ヌ：２, ネ：１

次に、
$p={\log }_{3}4$
のときを考える。これを式Ｃに代入して、
${\log }_3(3^x-{\displaystyle \frac{1}{3^x}})={\log }_{3}4$
より、方程式
$3^x-{\displaystyle \frac{1}{3^x}}=4$
ができる。これを解く。

式を簡単にするために、$3^x=X$とおくと、
$X-{\displaystyle \frac{1}{X}}=4$
$X\ne 0$なので、両辺を$X$倍して分母を払う。
$X^2-1=4X$
$X^2-4X-1=0$
解の公式より、
$$\begin{array}{rl}X& ={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{4^2-4(-1)}}{2}}\\ & =2\pm \sqrt{4+1}\\ & =2\pm \sqrt{5}\end{array}$$ $X=3^x$なので、$0<X$だから、
$X=2+\sqrt{5}$
となる。

この$X$をもとにもどして、
$3^x=2+\sqrt{5}$式Ｅ
復習より、
$x={\log }_3(2+\sqrt{5})$
である。

解答ノ：２, ハ：５

式Ｅからの別解

式Ｅの両辺の、底が$3$の対数をとって、
${\log }_3{3}^x={\log }_3(2+\sqrt{5})$
$x{\log }_{3}3={\log }_3(2+\sqrt{5})$
${\log }_{3}3=1$なので、
$x={\log }_3(2+\sqrt{5})$
である。

解答ノ：２, ハ：５

$y=2x-1$をそのまま$q$の式に代入してもいいんだけど、ややこしい式が出来そうだから、下ごしらえをしておこう。

(2)の最初に$p$の式を変形したのと同じことをする。
$$\begin{array}{rl}q& ={\log }_3\{3^y-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y\}\\ & ={\log }_3(3^y-{\displaystyle \frac{1}{3^y}})\mathrm{式}Ｆ\end{array}$$ ちょっと式が簡単になった。

ついでに、$3^y$も変形しておこう。
$y=2x-1$なので、
$$\begin{array}{rl}{3}^y& =3^{2x-1}\\ & =3^{2x}\times 3^{-1}\\ & =(3^x{)}^2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{(3^x{)}^2}{3}}\end{array}$$

ここで、$3^x=X$とすると、
$3^y={\displaystyle \frac{X^2}{3}}$
とかける。

以上を式Ｃ，式Ｆに代入すると
$p={\log }_3(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})$ $q={\log }_3({\displaystyle \frac{X^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{X^2}})$ となる。
これを$q=2p-1$に代入すると、方程式
${\log }_3({\displaystyle \frac{X^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{X^2}})=2{\log }_3(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})-1$
ができる。

これを解くんだけど、右辺の$-1$だけが対数じゃないから面倒だ。
$1={\log }_{3}3$
なので、これを代入して対数にしておこう。
$\begin{array}{rl}{\log }_3& ({\displaystyle \frac{X^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{X^2}})\\ & =2{\log }_3(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})-{\log }_{3}3\end{array}$

これを変形して、
${\log }_3({\displaystyle \frac{X^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{X^2}})+{\log }_{3}3={\log }_3{(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})}^2$
${\log }_3\left\{3({\displaystyle \frac{X^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{X^2}})\right\}={\log }_3{(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})}^2$

両辺の真数をとって、
$3({\displaystyle \frac{X^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{X^2}})={(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})}^2$
$X^2-{\displaystyle \frac{9}{X^2}}={(X-{\displaystyle \frac{1}{X}})}^2$

両辺に$X^2$をかけて、
$X^4-9=(X^2-1{)}^2$
$X^4-9=X^4-2X^2+1$
$2X^2=10$
$X^2=5$

$X=3^x$なので、$0<X$だから、
$X=\sqrt{5}$
となる。

もう一息だ。

$X$をもとにもどして、
$3^x=\sqrt{5}$式Ｇ

復習より、
$$\begin{array}{rl}x& ={\log }_3\sqrt{5}\\ & ={\log }_3{5}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}5\end{array}$$ である。

解答ヒ：５, フ：２

式Ｇからの別解

式Ｇの、両辺の底が$3$の対数をとって、
${\log }_3{3}^x={\log }_3\sqrt{5}$
$x{\log }_{3}3={\log }_3\sqrt{5}$
${\log }_{3}3=1$なので、
$$\begin{array}{rl}x& ={\log }_3\sqrt{5}\\ & ={\log }_3{5}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}5\end{array}$$ である。

解答ヒ：５, フ：２