大学入試センター試験 2017年(平成29年) 追試数学ⅠＡ第３問 [2] 解説

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図の固定

この問題も、第３問[1]と同様に、表が大きくなってしまうので表で解くのは難しい。
なので、これも計算で解く方法を解説した。

解説

まず、それぞれの壺から数字１が出る確率をまとめておこう。

Ａ型の壺が選ばれる確率は、 $\frac{2}{3}$ Ａ型の壺から数字１が出る確率は、 $\frac{1}{4}$ Ｂ型の壺が選ばれる確率は、 $\frac{1}{3}$ Ｂ型の壺から数字１が出る確率は、 $\frac{2}{4}$

なので、

Ａ型の壺から数字１が出る確率は
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$ Ｂ型の壺から数字１が出る確率は
$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{6}$

となる。

このことから、
Ａ型から１が出る確率 $=$ Ｂ型から１が出る確率式Ａ
であることが分かる。

次に、２回の試行で２回とも数字１が出るパターンを考えると、

表Ａ
パターン	１回目	２回目
Ａ	Ａ型から１が出る	Ａ型から１が出る
Ｂ	Ａ型から１が出る	Ｂ型から１が出る
Ｃ	Ｂ型から１が出る	Ａ型から１が出る
Ｄ	Ｂ型から１が出る	Ｂ型から１が出る

の４通りのパターンがあることが分かる。
式Ａより、Ａ型から１が出る確率とＢ型から１が出る確率は等しいので、４つのパターンは同じ確率で起こることになる。

条件付き確率は、

復習

事象 $A$ が起こる確率を $P (A)$ 、事象 $A$ と事象 $B$ の両方が起こる確率を $P (A \cap B)$ とするとき、
$A$ が起こったときに $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A} (B)$ は、
$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$
だった。

今回は、
$P (A)$ は取り出された数字が２回とも１である確率確率Ａ $P (A \cap B)$ は、１回目にＢ型の壺から１が出、２回目はＡ型・Ｂ型どっちでもいいから１が出る確率確率Ｂだ。

確率Ａは、表Ａの４つのパターン全部。
確率Ｂは、表ＡのパターンＣとＤ。

この４つのパターンは同じ確率で起こるので、
$\begin{aligned} \frac{チ}{ツ} & = \frac{確率Ｂ}{確率Ａ} \\ = \frac{2}{4} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$ である。

解答チ：１, ツ：２

別解

表Ａの４つのパターンはすべて同じ確率で起こるので、上の解説では確率Ａ，確率Ｂの値は必要ないので求めなかった。
これを求めて解くと、次のようになる。

すべてのパターンの確率は
$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6^{2}}$
なので、
確率Ａ $= \frac{1}{6^{2}} \times 4$ 確率Ｂ $= \frac{1}{6^{2}} \times 2$ となる。

よって、
$\begin{aligned} \frac{チ}{ツ} & = \frac{確率Ｂ}{確率Ａ} \\ = \frac{\frac{1}{6^{2}} \times 2}{\frac{1}{6^{2}} \times 4} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$ である。

解答チ：１, ツ：２

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