$\overrightarrow{\mathrm{LK}}=\overrightarrow{\mathrm{OK}}-\overrightarrow{\mathrm{OL}}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$$=(0,0,2)-(1,0,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$$=(-1,0,2)$式Ａ

解答ア：－, イ：１, ウ：０, エ：２

KLMNは平行四辺形なので、対辺は平行で長さが等しい。
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}=\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

解答オ：３

問題文から$\mathrm{M}(3,3,s)\text{、}\mathrm{N}(t,3,3)$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$$=(t,3,3)-(3,3,s)$
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$$=(t-3,0,3-s)$

これが$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$と等しいので、式Ａより、
$(t-3,0,3-s)=(-1,0,2)$
から、
$\{\begin{array}{l}s=1\\ t=2\end{array}$
である。

解答カ：１, キ：２

よって、$\mathrm{N}$の座標は
$(2,3,3)$
なので、$\mathrm{FG}$を
$1:2$
に内分する。

解答ク：２

ここまでで分かったことをまとめると、 $\overrightarrow{\mathrm{LK}}=\overrightarrow{\mathrm{MN}}=(-1,0,2)$ $\mathrm{M}(3,3,1)$ $\mathrm{N}(2,3,3)$ これを使って$\overrightarrow{\mathrm{LK}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}$、$\left|\overrightarrow{\mathrm{LK}}\right|$、$\left|\overrightarrow{\mathrm{LM}}\right|$を求める。

$\overrightarrow{\mathrm{LM}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{\mathrm{OL}}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$$=(3,3,1)-(1,0,0)$
$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$$=(2,3,1)$

まず$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$の内積だけど、
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}=(-1,0,2)\cdot (2,3,1)$
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}$$=-1\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 1$
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}$$=0$
となり、$\mathrm{LK}$⊥$\mathrm{LM}$なので、KLMNは長方形である。

解答ケ：０

$\left|\overrightarrow{\mathrm{LK}}\right|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{LK}}\right|$$=\sqrt{5}$

解答コ：５

$\left|\overrightarrow{\mathrm{LM}}\right|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{LM}}\right|$$=\sqrt{14}$

解答サ：１, シ：４

以上より、四角形KLMNの面積$S$は、
$S=\left|\overrightarrow{\mathrm{LK}}\right|\times \left|\overrightarrow{\mathrm{LM}}\right|$
$S$$=\sqrt{5}\times \sqrt{14}$
$S$$=\sqrt{70}$

解答ス：７, セ：０

図Ａに、平面αと点Pを描きたしてみた。
緑の平面がαだけど、ややこしくなるので$xy$平面より下の部分と$yz$平面より向こうの部分は省略してある。

復習

平面とベクトル$\overrightarrow{a}$が垂直
$\iff$
平面上のベクトル$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}$が垂直
（$\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\nparallel \overrightarrow{c}$）
$\iff$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0$
だった。

なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LK}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}=0$

解答ソ：０

これを解こう。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,q,r)$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LK}}=(p,q,r)\cdot (-1,0,2)$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LK}}$$=-p+2r$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}=(p,q,r)\cdot (2,3,1)$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}}$$=2p+3q+r$

これが$0$なので、
$\{\begin{array}{l}-p+2r=0\\ 2p+3q+r=0\end{array}$
上の式より、
$p=2r$式Ｂ

解答タ：２

これを下の式に代入して、
$4r+3q+r=0$
$q=-{\displaystyle \frac{5}{3}r}$式Ｃ

解答チ：－, ツ：５, テ：３

問題文は、さらに$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{PL}}$を使えという。

まず$\overrightarrow{\mathrm{PL}}$を求めよう。
$\overrightarrow{\mathrm{PL}}=\overrightarrow{\mathrm{OL}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
$\overrightarrow{\mathrm{PL}}$$=(1,0,0)-(p,q,r)$
$\overrightarrow{\mathrm{PL}}$$=(1-p,-q,-r)$

これと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に式Ｂ・Ｃを代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{PL}}=(1-2r,\frac{5}{3}r,-r)$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2r,-\frac{5}{3}r,r)$式D

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{PL}}$なので、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PL}}=0$だから、
$(1-2r)\cdot 2r-{\left(\frac{5}{3}r\right)}^2-r^2=0$
両辺$3^2$倍して、
$18r-36r^2-25r^2-9r^2=0$
$18r-70r^2=0$
$9r-35r^2=0$
$r(9-35r)=0$
より、
$r=0,{\displaystyle \frac{9}{35}}$

$r=0$のとき、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(0,0,0)$となるので、点Pは原点。
平面αは原点を通らないので、これは不適。
よって、
$r={\displaystyle \frac{9}{35}}$式Ｅ

解答ト：９, ナ：３, ニ：５

もう少しだ。
式Ｅを式Ｄに代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2\cdot \frac{9}{35},-\frac{5}{3}\cdot \frac{9}{35},\frac{9}{35})$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$$=(\frac{3\cdot 6}{35},-\frac{3\cdot 5}{35},\frac{3\cdot 3}{35})$
なので、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{{\left(\frac{3\cdot 6}{35}\right)}^2+{(-\frac{3\cdot 5}{35})}^2+{\left(\frac{3\cdot 3}{35}\right)}^2}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$$=\sqrt{{\left(\frac{3}{35}\right)}^2(6^2+5^2+3^2)}$
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}$${\displaystyle =\frac{3}{35}\sqrt{70}}$
である。

アドバイス

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めるとき、$y$成分の$-{\displaystyle \frac{3\cdot 5}{35}}$を約分してないところがポイント。
どうせ後で２乗して、$x$成分・$z$成分とたし算をするので、分母が同じになったところで約分をやめる。
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$ を求めるときも√の中は展開せず、まず因数分解。むだな計算はしないように。

解答ヌ：３, ネ：７, ノ：０, ハ：３, ヒ：５

さて、最後の設問だ。

図Ｃの赤い三角錐の体積を求めよう。

復習

三角錐の体積$V$は、
$V={\displaystyle \frac{1}{3}}$×底面積×高さ
だった。

問題の指示通り、△LMN（赤い斜線の三角形）を底面とすると、底面積は四角形KLMNの半分なので、(1)より
底面積$={\displaystyle \frac{\sqrt{70}}{2}}$

高さは$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$なので、
高さ$={\displaystyle \frac{3}{35}\sqrt{70}}$

以上より、三角錐OLMNの体積$V$は、
$V={\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{70}}{2}\cdot \frac{3}{35}\sqrt{70}}$
$V$$=1$
である。

解答フ：１