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平方根と式の値

$ab={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}=2}$

解答ア：２

まず通分して、たし算。
$a+b={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}}$
$a+b$$=-2+2\sqrt{6}$
$a+b$$=2(-1+\sqrt{6})$

解答イ：２, ウ：－, エ：１, オ：６

復習

この手の問題でよく使う変形の式がいくつかあるから、憶えておこう。
$a^2\pm b^2=(a\pm b{)}^2\mp 2ab$
$a^3\pm b^3=(a\pm b{)}^3-3ab(\pm a+b)$

なので、
$a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab$
$a^2+b^2$$={\left\{2(-1+\sqrt{6})\right\}}^2-2\cdot 2$
共通因数の$2^2$でくくって、
$a^2+b^2$$=2^2\{{(-1+\sqrt{6})}^2-1\}$
$\{\}$内は${\mathrm{A}}^2-{\mathrm{B}}^2=(\mathrm{A}+\mathrm{B})(\mathrm{A}-\mathrm{B})$の形なので、
$a^2+b^2$$=2^2(-1+\sqrt{6}+1)(-1+\sqrt{6}-1)$
$a^2+b^2$$=2^2\sqrt{6}(-2+\sqrt{6})$
$a^2+b^2$$=2^2\cdot 2(-\sqrt{6}+3)$
$a^2+b^2$$=8(3-\sqrt{6})$

解答カ：８, キ：３, ク６

アドバイス

このくらいの簡単な式なら展開してしまっても問題ないけど、もっと複雑な式の場合には展開すると大変だし、計算ミスも増える。因数分解中心の計算方法を身につけよう。

(1)より、
$a^2+b^2+4(a+b)=8(3-\sqrt{6})+4\cdot 2(-1+\sqrt{6})$
$a^2+b^2+4(a+b)$$=8(3-\sqrt{6}-1+\sqrt{6})$
$a^2+b^2+4(a+b)$$=8\cdot 2=16$

解答ケ：１, コ：６

ケコより、
$a^2+b^2+4(a+b)-16=0$式Ａ
この式を変形して、サシスセソの式を作る。目標の式には$b$が含まれないので、$b$を消そう。

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文字係数の方程式・不等式

(1)より$ab=2$なので、$a\ne 0$、
よって $b={\displaystyle \frac{2}{a}}$式Ｂ

式Ｂを式Ａに代入して、
$a^2+{\left(\frac{2}{a}\right)}^2+4(a+\frac{2}{a})-16=0$
分母を払おう。両辺を$a^2$倍して、
$a^4+2^2+4(a^3+2a)-16a^2=0$
$a^4+4a^3-16a^2+8a+4=0$

解答サ：４, シ：１, ス：６, セ：８, ソ：４