$f(x)$の式を微分して、
$f^{\prime }(x)=3x^2-p$式Ａ

解答ア：３, イ：２

$f(x)$が$x=a$で極値となるなら、$f^{\prime }(a)=0$なので、
$3a^2-p=0$式Ｂ

解答ウ：０

復習

関数が$x=a$で極値を持つ条件は、
$f^{\prime }(a)=0$ $x=a$の前後で$f^{\prime }(x)$の符号が変わる だった。

１は解決済みなので、２を考えよう。

$y=f^{\prime }(x)$とおいてグラフを描くと、$p$の値によって図Ａ～Ｃになる。
グラフ中、ピンクの部分は$0<f^{\prime }(x)$で、空色の部分は$f^{\prime }(x)<0$である。

図Ａのとき、$x=a$を境目にしてグラフはピンクの部分と空色の部分にまたがっているので、$x=a$の前後で$f^{\prime }(x)$の符号が変わっている。よって、条件に合う。
図Ｂ・Ｃのときには、グラフは空色の部分に入らないので、$f^{\prime }(x)$が負にならないから、条件に合わない。
以上より、$f(x)$が極値をもつのは
$-p<0$
変形して、
$0<p$
のとき。

解答エ：１

以上、問題文に「$x=a$前後での$f^{\prime }(x)$の符号の変化を考えることにより」とあるので、手を抜かずに解いた。
でも、答えを出すだけなら、次の別解の方が簡単。

別解

復習

三次関数が極値をもつ
$\Updownarrow$
$f^{\prime }(a)=0$となる実数$a$が２つある。
だった。

これを使おう。

式Ｂを変形して、
$3a^2=p$
の解は、
$p<0$のとき、実数解なし。
$p=0$のとき、重解。
$0<p$のとき、異なるふたつの実数解。
である。
よって、$f(x)$が極値をもつのは、
$0<p$
のとき。

解答エ：１

$f(x)$が$x={\displaystyle \frac{p}{3}}$で極値をとるので、(1)の$a$を${\displaystyle \frac{p}{3}}$におきかえて考える。

式Ｂより、
$3{\left({\displaystyle \frac{p}{3}}\right)}^2-p=0$

途中式

両辺を$3$倍して、
$p^2-3p=0$
$p(p-3)=0$

$p=0,3$
(1)より、$f(x)$が極値をもつときは $0<p$ なので、
$p=3$

解答オ：３

これを式Ａに代入して、
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3x^2-3\mathrm{式}Ｃ\\ & =3(x^2-1)\\ & =3(x+1)(x-1)\end{array}$$ となるので、
$x=\pm 1$のとき、$f^{\prime }(x)=0$

ここから増減表を書いてもいいのだけれど、極値自体は聞かれてないし、カキクだけ求めよう。
問題文のマスからカキが$-1$でクが$1$なのは明らかだけど、一応復習をしておこう。

復習

$f(x)$は三次関数で三次の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

 

 

 

$f^{\prime }(x)=0$となる$x$が２個のときは図Ｄ、１個のときは図Ｅ、ないときは図Ｆのような形になる。

これが頭に入っていれば、図Ｄより、
$x=\pm 1$のうち
小さい方の$x=-1$のときに極大
大きい方の$x=1$のときに極小
であることがすぐに分かる。

解答カ：－, キ：１, ク：１

さて、かなり情報が増えてきたので、グラフを描こう。
$\mathrm{A}$の座標は$({\displaystyle \frac{p}{3}},f\left({\displaystyle \frac{p}{3}}\right))$だけど、$p=3$が分かっているので、計算して$(1,-2)$としてある。

図Ｇの赤い直線$\ell$の方程式を求める。
$\ell$と$C$の接点を$(b,f(b))$とすると、
$\ell$の傾きは、式Ｃより
$3b^2-3$
これが$(b,f(b))$を通るので、
$y-f(b)=(3b^2-3)(x-b)$
より、
$y=(3b^2-3)(x-b)+f(b)$式D
となる。

解答ケ：３, コ：３

この直線が$(1,-2)$を通るので、
$-2=(3b^2-3)(1-b)+(b^3-3b)$
$3b^2-3-3b^3+3b+b^3-3b+2=0$
$-2b^3+3b^2-1=0$
$2b^3-3b^2+1=0$式Ｅ

解答サ：２, シ：３

これを解くのだけれど、今は点Aを通る$C$の接線と、$C$との接点を求めている。当然ながら、式Ｄの答えには、点A自身が接点である場合($b=1$も含まれる。
なので、因数定理を考えるまでもなく、式Ｄは$b-1$で割り切れる。
よって、式Ｅは
$(b-1)(2b^2-b-1)=0$
となり、さらに
$(b-1)(b-1)(2b+1)=0$
となるので、
$b=1,-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
である。

解答ス：１, セ：－, ソ：１, タ：２

$\ell$の傾きが$0$ではないので、点A自身が接点ではないから、$b\ne 1$。
よって、求める$b$は$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$。
これを式Ｄに代入して、
$\begin{array}{rl}y=& \{3{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-3\}\{x-(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\}\\ & +\{{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3-3(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\}\end{array}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{y}& =3({\displaystyle \frac{1}{4}}-1)(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{4}}-3)\\ & =-{\displaystyle \frac{9}{4}}(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{11}{4}})\\ & =-{\displaystyle \frac{9}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{11}{4}})\\ & =-{\displaystyle \frac{9}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{2}{4}})\end{array}$$

$\phantom{y}=-{\displaystyle \frac{9}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$
となる。

解答チ：－, ツ：９, テ：４, ト：１, ナ：４

ここまでの内容をグラフにしたものが図Ｈである。

図Ｈの赤い放物線$D$の方程式を求める。

頂点が点Aなので、$D$は、
$y=\alpha (x-1{)}^2-2$式Ｆ
この放物線が$(0,0)$を通るので、
$0=\alpha (0-1{)}^2-2$
$\alpha =2$
これを式Ｆに代入して、
$y=2(x-1{)}^2-2$

展開して、
$$\begin{array}{rl}y& =2x^2-4x+2-2\\ & =2x^2-4x\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$

解答ニ：２, ヌ：４

別解

$D$は、軸が$x=1$で、$x$軸と原点で交わる。
なので、もうひとつの原点と$D$の交点は$(2,0)$である。
このことから、$D$は、
$y=\alpha x(x-2)$式Ｈ
この放物線がAを通るので、
$-2=\alpha \cdot 1(1-2)$
$\alpha =2$
これを式Ｈに代入して、
$y=2x(x-2)$
展開して、
$y=2x^2-4x$式Ｇ

解答ニ：２, ヌ：４

最後に、$\ell$と$D$で囲まれた図形のうち、$y$軸より右の部分の面積$S$（図Ｈの斜線部分）を求める。
囲まれた図形全体の面積であれば${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使えるのだが、今回は使えない。
なので、図Ｈと式Ｇより、
$S={\displaystyle {\int }_0^1\{(-{\displaystyle \frac{9}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}})-(2x^2-4x)\}dx}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_0^1\{(-9x+1)-(8x^2-16x)\}dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_0^1(-8x^2+7x+1)dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}{[-{\displaystyle \frac{8}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+x]}_0^1\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}(-\frac{8}{3}+\frac{7}{2}+1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}(-16+21+6)\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{11}{24}}$
となる。

解答ネ：１, ノ：１