142
正弦・余弦・正接

まず△ABCの図を描くのだけれど、その前に${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{1}{4}}$の意味を考えておこう。
$\cos$は、直角三角形で${\displaystyle \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}}$だった。なので、${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{4}}$なら、図Ａのような直角三角形が考えられる。
これをこの問題にあてはめて考えると、△ABCは図Ａの直角三角形を２個くっつけた、図Ｂの三角形であることが分かる。

図ができたところで、問題にかかろう。

図Ｂより、$\mathrm{AC}=4$

解答ア：４

160
余弦定理

三角形$\mathrm{ABC}$において、余弦定理より、
${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$
$2^2=4^2+4^2-2\cdot 4^2\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\frac{4^2+4^2-2^2}{2\cdot 4^2}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{4+4-1}{2\cdot 4}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{7}{8}}$

解答イ：７, ウ：８

142
三角比の相互関係(1)

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$なので、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}+{\left(\frac{7}{8}\right)}^2=1$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{8^2-7^2}{8^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{(8-7)(8+7)}{8^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{15}{8^2}}$
$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{15}}{8}}$

解答エ：１, オ：５, カ：８

160
正弦定理

次は外接円の半径$R$だ。
三角形ABCに正弦定理を使って、
${\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}=2R}$
$2R={\displaystyle \frac{2}{\frac{\sqrt{15}}{8}}}$
分母分子を$8$倍して、
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2\cdot 8}{\sqrt{15}}}$
$R={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{15}}}$
$R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{8\sqrt{15}}{15}}$

解答キ：８, ク：１, ケ：５, コ：１, サ：５

点がかなり増えたので、いったん図を整理した。（図Ｃ）

この部分は、解法が十分説明になるので、どんどん解いてゆく。

282
三角形の角の二等分線と比

$\mathrm{AE}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$の二等分線だから、
$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}=\mathrm{BA}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}$$=4:2$
$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}$$=2:1$
なので、
${\displaystyle \mathrm{AE}=4\cdot \frac{2}{2+1}}$
${\displaystyle \mathrm{AE}}$${\displaystyle =\frac{8}{3}}$

解答シ：８, ス：３

△ABEで余弦定理を使うと、
${\mathrm{BE}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AE}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AE}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAE}$
${\displaystyle {\mathrm{BE}}^2}$${\displaystyle =4^2+{\left(\frac{8}{3}\right)}^2-2\cdot 4\cdot \frac{8}{3}\cdot \frac{7}{8}}$
通分して、
${\displaystyle {\mathrm{BE}}^2}$${\displaystyle =4^2\cdot \frac{3^2}{3^2}+\frac{8^2}{3^2}-\frac{2\cdot 4\cdot 7}{3}\cdot \frac{3}{3}}$
共通因数を出して
${\displaystyle {\mathrm{BE}}^2}$${\displaystyle =\frac{2\cdot 4}{3^2}(2\cdot 3^2+8-7\cdot 3)}$
${\displaystyle {\mathrm{BE}}^2}$${\displaystyle =\frac{2\cdot 4}{3^2}\cdot 5}$
${\displaystyle {\mathrm{BE}}^2}$${\displaystyle =\frac{4\cdot 10}{3^2}}$

$0<\mathrm{BE}$なので、
${\displaystyle \mathrm{BE}=\frac{2\sqrt{10}}{3}}$

解答セ：２, ソ：１, タ：０, チ：３

$\mathrm{AD}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{BAE}$の二等分線だから、
$\mathrm{BD}:\mathrm{ED}=\mathrm{AB}:\mathrm{AE}$
${\displaystyle \mathrm{BD}:\mathrm{ED}}$${\displaystyle =4:\frac{8}{3}}$
$\mathrm{BD}:\mathrm{ED}$$=3:2$
なので、
${\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\cdot \frac{3}{3+2}}$
${\displaystyle \mathrm{BD}}$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{10}}{5}}$

解答ツ：２, テ：１, ト：０, ナ：５

まず、FAとFCについて考えよう。
三角形は△FAC（緑の斜線の三角形）を使うしかないから、∠FACと∠FCAの大小が分かればよい。

BFは∠ABEの二等分線なので、
∠FBA=∠FBC
同じ弧の円周角は等しいので、
∠FBA=∠FCA
∠FBC=∠FAC
以上より、図Ｅの●をつけた角はすべて等しい。
よって、
∠FAC=∠FCA
となるので、
FA=FC

次に、FAとFDについて考える。
三角形は△FAD（青い斜線の三角形）を使うしかないから、∠FADと∠FDAの大小が分かればよい。

AHは∠BACの二等分線なので、
∠BAH=∠CAH
∠CAH=○とすると、
$\mathrm{\angle }\mathrm{FAD}=$○+●

△ABHに注目すると、
$\mathrm{\angle }\mathrm{BAH}+\mathrm{\angle }\mathrm{ABH}={90}^{\circ }$
なので、
○+●+●$={90}^{\circ }$

△DBHに注目すると、
$\mathrm{\angle }\mathrm{BDH}+\mathrm{\angle }\mathrm{DBH}={90}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }\mathrm{DBH}=$●なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{BDH}=$○+●

対頂角は等しいので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{FDA}=$○+●

よって、
∠FAD=∠FDA
となるので、
FA=FD