表Ａより、
$a_2=6+9$
$a_2$$=15$

解答ア：１, イ：５

$a_3=a_2+(9+4)$
$a_3$$=28$

解答ウ：２, エ：８

階差数列の一般項は、等差数列の一般項の式より、
$9+(n-1)4=4n+5$

解答オ：４, カ：５

復習

階差数列からもとの数列の一般項を求める式は、
もとの数列を$\left\{a_n\right\}$
階差数列を$\left\{b_n\right\}$
とすると、
$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_k(2\leqq n)}$
だった。

なので、$2\leqq n$のとき
$a_n=6+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(4k+5)}$
$a_n{\displaystyle }$${\displaystyle =6+4\cdot \frac{1}{2}(n-1)n+5(n-1)}$
$a_n$$=6+2n^2-2n+5n-5$
$a_n$$=2n^2+3n+1$①
である。
これは$n=1$のときも成り立つ。

解答キ：２, ク：２, ケ：３, コ：１

$b_2$は、②に$n=1$を代入して、
$b_2={\displaystyle \frac{a_1}{a_2-1}{b}_1}$
これに$a_1=6,{\displaystyle a_2=15,b_1=\frac{2}{5}}$を代入して、
$b_2={\displaystyle \frac{6}{15-1}\cdot \frac{2}{5}}$
$b_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{6\cdot 2}{14\cdot 5}}$
$b_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3\cdot 2}{7\cdot 5}}$
$b_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{6}{35}}$
である。

解答サ：６, シ：３, ス：５

次に③だけど、②と見比べると$a_n$や$a_{n+1}$が消えている。なので、代入して消そう。

①より、
$a_n=2n^2+3n+1$式Ａ
これに$n=n+1$を代入して、
$a_{n+1}=2(n+1{)}^2+3(n+1)+1$
$a_{n+1}$$=2n^2+4n+2+3n+3+1$
$a_{n+1}$$=2n^2+7n+6$式Ｂ

②に式Ａ・Ｂを代入して、
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+6-1}{b}_n}$
$b_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+5}{b}_n}$
$b_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+5)(n+1)}{b}_n}$
$b_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2n+1}{2n+5}{b}_n}$③
となる。

解答セ：２, ソ：１, タ：５

ここで、問題文は
$c_n=(2n+1)b_n$④
とおき、これを用いて③を変形せよという。
変形後の式を見ると$b_n$と$b_{n+1}$が消えているので、代入して消そう。

④より、
$b_n={\displaystyle \frac{c_n}{2n+1}}$
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2(n+1)+1}}$
$b_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{c_{n+1}}{2n+3}}$

これを③に代入すると、
${\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2n+3}=\frac{2n+1}{2n+5}\cdot \frac{c_n}{2n+1}}$
${\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2n+3}=\frac{c_n}{2n+5}}$
分母を払って、
$(2n+5)c_{n+1}=(2n+3)c_n$式Ｃ
となり、変形後の式ができる。

解答チ：５, ツ：３

⑤はちょっと悩むと思うけど、

アドバイス

マークシート試験で悩んだときは、上を見て、下を見る。つまり、これまでに解いたことを振り返り、それでも分からなければ先を読む。

今回は先を読もう。

$d_n=(2n+\text{テ})c_n$
とおくと、
$d_{n+1}=d_n$
になるらしい。
ここからテを逆算しよう。

$d_n=(2n+\text{テ})c_n$
$d_{n+1}=\{2(n+1)+\text{テ}\}{c}_{n+1}$
を
$d_{n+1}=d_n$
に代入して、
$\{2(n+1)+\text{テ}\}{c}_{n+1}=(2n+\text{テ})c_n$
$\{2n+(\text{テ}+2)\}{c}_{n+1}=(2n+\text{テ})c_n$
これを式Ｃと見比べると、
$\text{テ}=3$
であることが分かる。

解答テ：３

次は、$d_1$だ。
$d_n=(2n+3)c_n$
なので、
$d_1=(2\cdot 1+3)c_1$
$d_1$$=5c_1$

④より
$c_n=(2n+1)b_n$
なので、
$c_1=(2\cdot 1+1)b_1$
$c_1$$=3b_1$

問題文より$b_1={\displaystyle \frac{2}{5}}$なので、さかのぼって代入していって、
$c_1=3{\displaystyle \cdot \frac{2}{5}}$
$d_1=5{\displaystyle \cdot 3\cdot \frac{2}{5}}$
$d_1$$=6$
である。

解答ト：６

以上より、$d_1=6,d_{n+1}=d_n$なので、
$d_n=6$