はじめの方は図がなくても解けるけど、イメージがつかめている方がミスが少ないので、とりあえず描いてみた。

なので、
$\displaystyle \frac{4}{3}\times a=-1$
$a=-\displaystyle \frac{3}{4}$
となる。
よって、$\left(p,q\right)$を通る傾き$-\displaystyle \frac{3}{4}$の直線の方程式を求めればよいので、
$y-q=-\displaystyle \frac{3}{4}(x-p)$
$y=-\displaystyle \frac{3}{4}(x-p)+q$式Ａ

解答ア：３, イ：４

$\ell$と$m$の交点は、式Ａと$y=\displaystyle \frac{4}{3}x$の連立方程式を解いて、
$-\displaystyle \frac{3}{4}(x-p)+q=\frac{4}{3}x$
両辺を$12$倍して、
$-9x+9p+12q=16x$
$25x=9p+12q$
$x=\displaystyle \frac{9p-12q}{25}$
共通因数でくくって
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{25}(3p+4q)$式Ｂ

解答ウ：３, エ：４

問題文のマスから$y$座標は計算する必要がないけれど、ここでは求めておこう。
式Ｂを $y=\displaystyle \frac{4}{3}x$ に代入して、
$y=\displaystyle \frac{4}{3}\cdot\frac{3}{25}(3p+4q)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4}{25}(3p+4q)$

$r=q$なので、①より、
$\displaystyle \frac{1}{5}\left|4p-3q\right|=q$
$\left|4p-3q\right|=5q$
$4p-3q=\pm 5q$
$4p=8q,\ -2q$
$p=2q,\displaystyle \ -\frac{1}{2}q$
ここで、$p \gt 0,\ q \gt 0$ なので、
$p=2q$
である。

解答キ：２

求める円$C$は、中心$(2q,q)$、半径$q$であることが分かった。
なので、円$C$の方程式は
$(x-2q)^{2}+(y-q)^{2}=q^{2}$式Ｃ
と書ける。

円$C$は点$\mathrm{R}(2,2)$を通るので、
$(2-2q)^{2}+(2-q)^{2}=q^{2}$
$q^{2}-3q+2=0$
$(q-1)(q-2)=0$
$q=1,2$

これを式Ｃに代入して、
$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$
または
$(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=4$
となる。

解答ク：２, ケ：１, コ：１, サ：４, シ：２, ス：４