はじめの方は図がなくても解けるけど、イメージがつかめている方がミスが少ないので、とりあえず描いてみた。

なので、
${\displaystyle \frac{4}{3}\times a=-1}$
$a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$
となる。
よって、$(p,q)$を通る傾き$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$の直線の方程式を求めればよいので、
$y-q=-{\displaystyle \frac{3}{4}(x-p)}$
$y=-{\displaystyle \frac{3}{4}(x-p)+q}$式Ａ

解答ア：３, イ：４

$\ell$と$m$の交点は、式Ａと$y={\displaystyle \frac{4}{3}x}$の連立方程式を解いて、
$-{\displaystyle \frac{3}{4}(x-p)+q=\frac{4}{3}x}$
両辺を$12$倍して、
$-9x+9p+12q=16x$
$25x=9p+12q$
$x={\displaystyle \frac{9p-12q}{25}}$
共通因数でくくって
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{25}(3p+4q)}$式Ｂ

解答ウ：３, エ：４

問題文のマスから$y$座標は計算する必要がないけれど、ここでは求めておこう。
式Ｂを $y={\displaystyle \frac{4}{3}x}$ に代入して、
$y={\displaystyle \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{25}(3p+4q)}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4}{25}(3p+4q)}$

$r=q$なので、①より、
${\displaystyle \frac{1}{5}|4p-3q|=q}$
$|4p-3q|=5q$
$4p-3q=\pm 5q$
$4p=8q,-2q$
$p=2q,{\displaystyle -\frac{1}{2}q}$
ここで、$p>0,q>0$ なので、
$p=2q$
である。

解答キ：２

求める円$C$は、中心$(2q,q)$、半径$q$であることが分かった。
なので、円$C$の方程式は
$(x-2q{)}^2+(y-q{)}^2=q^2$式Ｃ
と書ける。

円$C$は点$\mathrm{R}(2,2)$を通るので、
$(2-2q{)}^2+(2-q{)}^2=q^2$
$q^2-3q+2=0$
$(q-1)(q-2)=0$
$q=1,2$

これを式Ｃに代入して、
$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$
または
$(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=4$
となる。

解答ク：２, ケ：１, コ：１, サ：４, シ：２, ス：４