曲線$C$の式を微分して、
$y^{\prime }=3x^2$
これに点Ｐの$x$座標を代入して、接線の傾きは$3a^2$である。

傾きが$3a^2$の直線が点Ｐ$(a,a^3)$を通るので、求める接線は
$y-a^3=3a^2(x-a)$
となる。

これを整理して、
$$\begin{array}{rl}y& =3a^2(x-a)+a^3\\ & =3a^{2}x-3a^3+a^3\\ & =3a^{2}x-2a^3\end{array}$$ である。

解答ア：２, イ：２, ウ：３

放物線$D$が点Ｐを通るので、$D$の式に点Ｐの座標を代入して、
$a^3=a^2+ap+q$式Ａ

点Ｐにおける放物線$D$の接線の傾きは、放物線$D$の式を微分して、
$y^{\prime }=2x+p$
これに点Ｐの$x$座標を代入して、接線の傾きは$2a+p$である。
点Ｐにおける曲線$C$と放物線$D$の接線の傾きは等しいので、
$3a^2=2a+p$式Ｂ
となる。

式Ａと式Ｂの連立方程式を解く。
式Ｂより、
$p=3a^2-2a$
これを式Ａに代入して、
$a^3=a^2+a(3a^2-2a)+q$
$$\begin{array}{rl}q& =a^3-a^2-a(3a^2-2a)\\ & =a^3-a^2-3a^3+2a^2\\ & =-2a^3+a^2\end{array}$$ である。

解答エ：２, オ：２, カ：－, キ：２, ク：２

「以下、$p$，$q$は①を満たす」ので、この結果を放物線Ｄの式に代入して$p$，$q$を消しておこう。
放物線Ｄの式は
$y=x^2+(3a^2-2a)x-2a^3+a^2$式Ｃ
となる。

放物線$D$が点Ｑを通るので、式Ｃに点Ｑの座標を代入して、
$b=-2a^3+a^2$②
となる。

解答ケ：－, コ：２, サ：２

次は、定数項に文字を含む高次方程式の、実数解の個数の問題だ。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。
詳しくはこのページ参照。

まず、方程式の解を求める文字が$a$だと分かりにくいので、問題の指示通り②式の右辺の$a$を$x$に置き換えると、
$b=-2x^3+x^2$
となる。
これを、連立方程式
$\{\begin{array}{l}y=-2x^3+x^2\\ y=b\end{array}$②'
と考えて、２つの式の共有点の数を求める方針で解こう。

まず②'の上側の式のグラフを描く。
微分して、
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =-6x^2+2x\\ & =-2x(3x-1)\end{array}$$ より、$x=0,{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき$y^{\prime }=0$である。

②'の上側の式に$x=0,{\displaystyle \frac{1}{3}}$を代入して、
$x=0$のとき
$y=0$ $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき
$$\begin{array}{rl}y& =-2\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\\ & ={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3\cdot (-2+3)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{27}}\end{array}$$ これをもとに増減表を書くと、

表Ｂ

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	$\cdots$
$y^{\prime }$	-	$0$	$+$	$0$	-
$y$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	${\displaystyle \frac{1}{27}}$	$\searrow$

となる。

表Ｂより、
$x=0$のとき、極小値$0$ $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき、極大値${\displaystyle \frac{1}{27}}$ をとる。

解答シ：０, ス：０, セ：１, ソ：３, タ：１, チ：２, ツ：７

表Ｂからグラフを描くと、図Ｃができる。

$0<b<{\displaystyle \frac{1}{27}}$のとき、$y=b$のグラフは図Ｃの緑の範囲に入る。
このとき、②'の２つのグラフは３点で交わる。
よって、②を満たす$a$の個数は３である。

解答テ：３

$a=0$のとき、式Ｃは
$y=x^2$式Ｄ
となり、これが$D_1$の式、
$a={\displaystyle \frac{4}{9}}$のとき、式Ｃは
$\begin{array}{rl}y& =x^2+\{3\cdot {\left({\displaystyle \frac{4}{9}}\right)}^2-2\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}\}x\\ & -2\cdot {\left({\displaystyle \frac{4}{9}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{4}{9}}\right)}^2\end{array}$
式Ｅ
となり、これが$D_2$の式である。

$D_1$と$D_2$と$x$軸に囲まれた図形の面積を$S$とする。
$D_1$と$D_2$の交点と、それぞれの頂点の$x$座標を求めて、
${\displaystyle S={\int }_{\text{頂点}}^{\text{交点}}{D}_{1}dx+{\int }_{\text{交点}}^{\text{頂点}}{D}_{2}dx}$式Ｆ
という計算をするのは.....嫌だねぇ。
計算してみると分かるけど、式Ｆは
$\begin{array}{rl}S={\int }_0^{\frac{2}{27}}& x^{2}dx\\ & +{\int }_{\frac{2}{27}}^{\frac{4}{27}}(x^2-{\displaystyle \frac{8}{27}}x+{\displaystyle \frac{16}{729}})dx\end{array}$
という式になる。こんな計算は絶対にしたくないので、もっと楽な方法を考えよう。

２つの放物線の頂点の$x$座標から始めよう。
$D_1$の頂点は原点だけど、$D_2$は面倒だ。式Ｅを平方完成するのは避けたいので、ここでちょっと思い出そう。

復習

$y=a{x}^2+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
だった。

これを使おう。

式Ｅと復習より、$D_2$の頂点の$x$座標は、
${\displaystyle \frac{-\{3\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^2-2\cdot \frac{4}{9}\}}{2\cdot 1}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}& ={\displaystyle \frac{\frac{4}{9}(-3\cdot \frac{4}{9}+2)}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{9}}(-{\displaystyle \frac{4}{3}}+2)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

$={\displaystyle \frac{4}{27}}$
となるから、$D_1$と$D_2$は図Ｄのようなグラフになる。

$D_1$と$D_2$は合同で頂点の$y$座標も等しいので、交点の$x$座標は２つの頂点の中央になる。
よって、交点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{0+\frac{4}{27}}{2}}={\displaystyle \frac{2}{27}}$
である。

また、面積を求める斜線の図形は左右対称になるから、左半分（紫色に見えるけど青い部分）と右半分（緑色の部分）の面積は等しい。
なので、左半分の面積を求めて２倍する方針で解こう。

図Ｄの青い部分の面積を２倍すると、求める面積$S$なので、
${\displaystyle S=2{\int }_0^{\frac{2}{27}}{x}^{2}dx}$
となる。これを計算するのだけれど、ヌネノを見ると答は因数分解した形になっているので、${\displaystyle \frac{2}{27}}$は${\displaystyle \frac{2}{3^3}}$としておこう。
この式を積分して、
$S=2{\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3\right]}_0^{\frac{2}{3^3}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& =2\{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3^3}}\right)}^3-0\}\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3^3}}\right)}^3\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2^3}{3^9}}\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{2^4}{3^{10}}}$
である。

解答ヌ：４, ネ：１, ノ：０