①式を平方完成して、
$y=-x^2+(2a+4)x+b$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{y}& =-\{x^2-2(a+2)x\}+b\\ & =-\{x^2-2(a+2)x+(a+2{)}^2-(a+2{)}^2\}\\ & +b\\ & =-\{x^2-2(a+2)x+(a+2{)}^2\}\\ & +(a+2{)}^2+b\end{array}$$

$\phantom{y}=-\{x-(a+2){\}}^2+a^2+4a+4+b$
より、頂点の座標は$(a+2,a^2+4a+b+4)$である。

解答ア：２, イ：４, ウ：４

この頂点が$y=-4x-1$上にあるので、頂点の座標を代入して、
$a^2+4a+b+4=-4(a+2)-1$
$$\begin{array}{rl}b& =-4(a+2)-1-a^2-4a-4\\ & =-4a-8-1-a^2-4a-4\\ & =-a^2-8a-13\end{array}$$ である。

解答エ：８, オ：１, カ：３

問題を解く前に、この式を①式に代入して$b$を消しておこう。
$y=-x^2+(2a+4)x-a^2-8a-13$
①'

ついでに、頂点の座標も$a$だけで表しておくと、
$$\begin{array}{rl}(a+& 2,a^2+4a+(-a^2-8a-13)+4)\\ & =(a+2,a^2+4a-a^2-8a-13+4)\\ & =(a+2,-4a-9)\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ である。

次は、$x$軸と放物線のグラフの共有点の位置の問題。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。

復習

ポイントは、条件に合うグラフを描いて、
判別式から、$x$軸との共有点の個数条件Ａ 範囲の端（ここでは、$x=0$）の$y$座標の正負条件Ｂ 放物線の軸が、範囲の端より右にあるか左にあるか条件Ｃ を考えること。

この方針で解いてみよう。

$x$軸の正の部分と負の部分の両方で交わる条件に合うグラフは、図Ａのような形になる。

図Ａを見ながら復習の３つの条件を考えると、
条件Ａ：$x$軸と異なる２点で交わるので、$0<D$ 条件Ｂ：$x=0$のとき$y>0$ 条件Ｃ：放物線の軸はどこにあってもよい ことが分かる。
それぞれの条件について解こう。話の都合上、条件Ｂからはじめる。

条件Ｂ
①'式に$x=0$を代入したものが正になるので、
$-a^2-8a-13>0$
$a^2+8a+13<0$式Ｂ

ここで、$a^2+8a+13=0$のとき、解の公式より
$$\begin{array}{rl}a& ={\displaystyle \frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 13}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-8\pm \sqrt{4(8\cdot 2-13)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-8\pm 2\sqrt{8\cdot 2-13}}{2}}\\ & =-4\pm \sqrt{3}\end{array}$$ なので、式Ｂの解は
$-4-\sqrt{3}<a<-a+\sqrt{3}$条件Ｂ
である。

アドバイス

方程式$a{x}^2+bx+c=0$の$b$が偶数のとき、$b=2n$とおいて、
$x={\displaystyle \frac{-n\pm \sqrt{n^2-ac}}{a}}$
とする解の公式もあるけど、上の計算のように√の中を因数分解すると、すぐにこの公式と同じ形になる。なので、この公式は憶える必要はない。てか、この公式に頼ると因数分解をしなくなるので、個人的にはむしろ害があると思ってます。

次に、条件Ａ。
$G$は$x$軸と異なる２点で交わるのだけれど、条件Ｂに$y>0$ってのが入ってる。
上に凸の放物線の$y$座標が正になるところがあれば、$x$軸と２点で交わるのは明らか。
なので、条件Ａは考えなくてもよい。

アドバイス

考えてもいいけど、余計な作業が増えるだけで、答には影響がないです。

最後に条件Ｃだけど、軸はどこにあってもよいので、これも考えなくてもよい。

以上より、求める$a$の範囲は、条件Ｂのまま、
$-4-\sqrt{3}<a<-a+\sqrt{3}$
である。

解答コ：４, サ：３

(i) 頂点が定義域の中央より左にあるとき

式Ａより、頂点の$x$座標は$x=a+2$，定義域の中央は$2$なので、このパターンになるのは
$a+2<2$
$a<0$式Ｃ
のとき。

このとき、関数①の最小値は、①'式に$x=4$を代入して、
$-4^2+4\cdot (2a+4)-a^2-8a-13$

これが$-22$になるので、

途中式

$-4^2+4\cdot (2a+4)-a^2-8a-13=-22$
$-16+8a+16-a^2-8a-13=-22$
$-a^2=-9$
$a^2=9$

$a=\pm 3$

このうち、式Ｃの範囲に入るのは
$a=-3$
である。

解答シ：－, ス：３

(ii) 頂点が定義域の中央または右にあるとき

このパターンになるのは
$2\leqq a+2$
$0\leqq a$式Ｄ
のとき。
このとき、関数①の最小値は、①'式に$x=0$を代入して、
$-a^2-8a-13$
これが$-22$になるので、

途中式

$-a^2-8a-13=-22$
$a^2+8a-9=0$
$(a+9)(a-1)=0$

$a=-9$，$1$
このうち、式Ｄの範囲に入るのは
$a=1$
である。

解答セ：１

$a=1$のとき、頂点の$x$座標は$3$なので、頂点は定義域の右半分に入り、図Ｅのようなグラフになる。
図Ｅより、関数①が最大となるのは、頂点のとき。
よって、求める最大値は、式Ａの$y$座標に$a=1$を代入して、
$-4\cdot 1-9=-13$
である。

解答ソ：－, タ：１, チ：３

別解

最大値は①'式に$x=3$，$a=1$を代入して、
$$\begin{array}{rl}y& =-3^2+(2\cdot 1+4)\cdot 3-1^2-8\cdot 1-13\\ & =-9+6+12-1-8-13\\ & =-13\end{array}$$ である。

解答ソ：－, タ：１, チ：３