点$\mathrm{M}$は$\mathrm{CE}$の中点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}}{2}}$
とかける。

これに
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\end{array}$
を代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OM}}& ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{c}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\end{array}$$ である。

解答ア：２

点$\mathrm{N}$は$\mathrm{AD}$を$3:1$に内分する点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{1\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{3+1}}$
とかける。

これに
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\end{array}$
を代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{ON}}& ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{4a}+3\overrightarrow{b}}{4}}\\ & =\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{b}\end{array}$$ である。

解答イ：３, ウ：４

点$\mathrm{O}$から、$\mathrm{FL}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{P}$へのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OF}}+s\overrightarrow{\mathrm{OL}}$
とかける。

これに
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{\mathrm{OL}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\end{array}$
を代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})+s({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}& =(1-s)\overrightarrow{a}+(1-s)\overrightarrow{c}+{\displaystyle \frac{s}{2}}\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}\\ & =(1-s+{\displaystyle \frac{s}{2}})\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+(1-s)\overrightarrow{c}\end{array}$$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}=(1-{\displaystyle \frac{s}{2}})\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+(1-s)\overrightarrow{c}$式Ａ
と書ける。

解答エ：１, オ：２, カ：１

よって、$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MP}}}& =\{(1-{\displaystyle \frac{s}{2}})\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+(1-s)\overrightarrow{c}\}\\ & -({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\ & =(1-{\displaystyle \frac{s}{2}})\overrightarrow{a}+(s-{\displaystyle \frac{1}{2}})\overrightarrow{b}\\ & +(1-s-1)\overrightarrow{c}\end{array}$$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MP}}}=(1-{\displaystyle \frac{s}{2}})\overrightarrow{a}+(s-{\displaystyle \frac{1}{2}})\overrightarrow{b}-s\overrightarrow{c}$
式Ｂ
となる。

また、$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MN}}}& =(\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{b})-({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\ & =\overrightarrow{a}+({\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\end{array}$$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{MN}}}=\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$
である。
よって、$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\overrightarrow{\mathrm{MN}}$となる$k$が存在するならば、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k(\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$
より、
$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=k\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{k}{4}}\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{c}$式Ｃ
となる。

式Ｂ=式Ｃなので、
$\{\begin{array}{l}1-{\displaystyle \frac{s}{2}}=k\\ s-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{k}{4}}\\ -s=-k\end{array}$式Ｄ
のすべてを満たす$s$，$k$が存在するならば、点ＰはMN上にある。

式Ｄの一番下の式より、
$s=k$
なので、これを他の２式に代入して、
$\{\begin{array}{l}1-{\displaystyle \frac{s}{2}}=s\\ s-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{s}{4}}\end{array}$
となる。
上の式より、
$2-s=2s$
$3s=2$
$s={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$k={\displaystyle \frac{2}{3}}$
下の式より、
$4s-2=s$
$3s=2$
$s={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$k={\displaystyle \frac{2}{3}}$
となって、$s=k={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき、式Ｄのすべての式が成り立つ。
つまり、式Ｄのすべてを満たす$s$，$k$が存在するので、Ｍ，Ｎ，Ｐは一直線上にある。

解答キ：２, ク：３, ケ：２, コ：３

式Ａの$s$が${\displaystyle \frac{2}{3}}$のときの点Ｐが点Ｇなので、
$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=(1-{\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{2}})\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}+(1-{\displaystyle \frac{2}{3}})\overrightarrow{c}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OG}}}& =(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}+(1-{\displaystyle \frac{2}{3}})\overrightarrow{c}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}\end{array}$$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OG}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$式Ｅ
となる。

解答サ：１, シ：３, ス：２, セ：２

よって、$\overrightarrow{\mathrm{GF}}$は、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}}& =(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})-{\displaystyle \frac{1}{3}}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}(3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c})-{\displaystyle \frac{1}{3}}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\end{array}$$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})$式Ｆ
である。

解答ソ：２

式Ｆより、
$$\begin{array}{rl}{\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|}^2& ={\left|{\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\right|}^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3^2}}{\left|(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\right|}^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3^2}}\left(\begin{array}{rl}& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\\ & -4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-8\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+4\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}\end{array}\right)\end{array}$$ とかける。

ここで、$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{5}$，$\left|\overrightarrow{b}\right|=4$，$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0$なので、
$$\begin{array}{rl}{\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|}^2& ={\displaystyle \frac{1}{3^2}}(5+4\cdot 16+4\cdot 3)\\ & ={\displaystyle \frac{81}{3^2}}\end{array}$$ $0<\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|$なので、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$
となる。

解答タ：３

$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}$
これは、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{c}$および式Ｅより、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{GH}}& =t\overrightarrow{c}-{\displaystyle \frac{1}{3}}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 3t\overrightarrow{c}-{\displaystyle \frac{1}{3}}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+(3t-1)\overrightarrow{c}\}\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$ とかける。

式Ｆ，式Ｇより、$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}$は、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}& =\left\{{\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\right\}\\ & \cdot \left[{\displaystyle \frac{1}{3}}\{-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+(3t-1)\overrightarrow{c}\}\right]\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9}}(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\\ & \cdot \{-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+(3t-1)\overrightarrow{c}\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9}}\left\{\begin{array}{rl}& -2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\\ & +2(3t-1){\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\end{array}\right\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9}}\{-2\cdot 5+4\cdot 16+2(3t-1)\cdot 3\}\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}}& ={\displaystyle \frac{1}{9}}(-10+4\cdot 16+2\cdot 9t-6)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9}}(9\cdot 2t+4\cdot 16-16)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9}}(9\cdot 2t+3\cdot 16)\end{array}$$

$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}}=2t+{\displaystyle \frac{16}{3}}$①
となる。

解答チ：２, ツ：１, テ：６, ト：３

$\mathrm{\angle }\mathrm{FGH}=\mathrm{\angle }\mathrm{MGH}=\theta$とすると、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot \cos \theta$ $\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{GM}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot \cos \theta$ とかける。

これは、$\left|\overrightarrow{\mathrm{GF}}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{GM}}\right|=2$より、
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}=3\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot \cos \theta$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot \cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}}{3}}$式Ｈ $\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}=2\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot \cos \theta$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|\cdot \cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}}{2}}$式Ｉ となる。
式Ｈ=式Ｉなので、
${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}}{3}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}}{2}}$
$\overrightarrow{\mathrm{GF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{GM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GH}}$
である。

解答ナ：３, ニ：２

これに①，②を代入して、
$2t+{\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(2t+{\displaystyle \frac{10}{3}})$
$2t+{\displaystyle \frac{16}{3}}=3t+5$
両辺を$3$倍して分母を払って、
$6t+16=9t+15$
$3t=1$
$t={\displaystyle \frac{1}{3}}$
となる。

解答ヌ：１, ネ：３