表Ａ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5
	6					4	1	1	2
	5						2
	4				1	1
	3				1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

国語の得点が４点なのは表Ａの緑の部分なので、５人。

解答ア：５

表Ｂ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5
	6					4	1	1	2
	5						2
	4				1	1
	3				1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

図Ｂの青い部分は、国語と英語の得点が等しい。なので、それより右下の緑の部分は英語の得点が国語の得点より低い。
よって、問われている英語の得点が国語の得点以下であるのは青＋緑の部分で、８人。

解答イ：８

ここで「偏差」って言葉の復習をしておこう。

復習

偏差とは、それぞれのデータの値と平均値との差で、データの値から平均値を引いたもの。
例えば表Ｃだと、国語の最高点は８点だけど、偏差は
$8-5=3$
で３になる。
平均値ちょうどのデータの偏差は０，平均値より小さい値のデータの偏差は負の数である。

それから、分散の復習もしておく。

復習

分散$s^2$の定義は、
「偏差の２乗の平均」
つまり、
$s^2={\displaystyle \frac{(\text{値}-\text{平均値}{)}^2\text{の和}}{\text{データの大きさ}}}$
である。

公式

$$\begin{array}{rl}{s}^2& ={\displaystyle \frac{\left\{\begin{array}{rl}& {(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2\\ & +\cdots +{(x_n-\bar{x})}^2\end{array}\right\}}{n}}\\ & =\overline{x^2}-{\left(\bar{x}\right)}^2\end{array}$$

を憶えておこう。

表Ｄ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5
	6					4	1	1	2
	5						2
	4				1	1
	3				1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

表Ｄのグレーの部分が平均値。グレーの部分よりも下は偏差は負・上は偏差は正になるけど、分散の計算に必要なのは偏差の２乗なので、上も下も正の数になる。
偏差の２乗は、緑の部分は$1^2$，青い部分は$2^2$，オレンジの部分は$3^2$になる。
グレーの部分の偏差の２乗はは$0^2$だから、無視しても結果は変わらない。なので、計算からは除外する。
分散$s^2$は
$s^2={\displaystyle \frac{\left\{\begin{array}{rl}{1}^2& \times (5+2)\\ & +2^2\times (1+1+1+1)+3^2\times 1\end{array}\right\}}{20}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{s^2}& ={\displaystyle \frac{7+16+9}{20}}\\ & ={\displaystyle \frac{32}{20}}\\ & ={\displaystyle \frac{16}{10}}\end{array}$$

$\phantom{s^2}=1.6$
である。

解答オ：１, カ：６, キ：０

次は、相関係数だ。

復習

データの組$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$\cdots$，$(x_n,y_n)$があり、$x$の平均値を$\bar{x}$，$y$の平均値を$\bar{y}$とする。
$x$の偏差と$y$の偏差の積
$(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})$，$(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})$，$\cdots$，$(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})$
を偏差の交差積という。
この偏差の交差積の平均値を共分散という。
共分散を$s_{xy}$とすると、

公式

$$\begin{array}{rl}{s}_{xy}& ={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{rl}& (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})\\ & +(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})\\ & +\cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\end{array}\right\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{x}_k\cdot y_k-\bar{x}\cdot \bar{y}\end{array}$$

この共分散$s_{xy}$を、$x,y$それぞれの標準偏差の積で割った、

公式

$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}}$

を相関係数という。

表Ｅのグレーの部分は、国語または英語の偏差が０なので、偏差の交差積も０。
なので、無視しても結果は変わらないから、計算からは除外する。
偏差の交差積は、
緑の部分は２
右上の緑は、$1\times 2=2$ 左下の緑は、$(-1)\times (-2)=2$ 青い部分は４
$(-2)\times (-2)=4$ オレンジの部分は６
右上のオレンジは、$3\times 2=6$ 左下のオレンジは、$(-2)\times (-3)=6$ である。
よって、共分散$s_{xy}$は、
$$\begin{array}{rl}{s}_{xy}& ={\displaystyle \frac{2\times (1+1)+4\times 1+6\times (1+1)}{20}}\\ & ={\displaystyle \frac{4+4+12}{20}}\\ & ={\displaystyle \frac{20}{20}}=1\end{array}$$

この$s_{xy}$を国語と英語の標準偏差の積で割れば、相関係数だ。
問題文中の表より、国語の分散は$1.60$なので、国語の標準偏差は$\sqrt{1.60}$ オカキより、英語の分散も$1.60$なので、英語も標準偏差は$\sqrt{1.60}$ 以上より、相関係数$r_{xy}$は、
$r_{xy}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1.60}\times \sqrt{1.60}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{r_{xy}}& ={\displaystyle \frac{1}{1.60}}\\ & ={\displaystyle \frac{10}{16}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}$$

$\phantom{r_{xy}}=0.625$
となる。

解答ケ：０, コ：６, サ：２, シ：５

表Ｆ

(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5			2	1
	6					4	1	8	5	F
	5					3	5	5	1
	4			2	2	D	E	2	2
	3		1		1
	2
	1
	0
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						国語					(点)

(2)でＡクラスの国語の平均点を求めたのと同じような計算方法をしよう。
国語の得点が５点（表Ｆのグレーの部分）を基準（０）にすると、グレーより右の部分は＋、左の部分は－で表せる。例えば６点は$+1$点、４点は$-1$点になる。
すると、表Ｆの青い部分は右と左がセットで０になるので、オレンジ色の部分だけ計算すると、
$1\times (1+8)+2\times 5+3\times 1=22$
なので、国語の合計点は$5\times$人数よりも$22$点多い。
問題文より、$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$を除いた人数は52人なので、
$$\begin{array}{rl}5\times 52+22& =10\times 26+22\\ & =282\end{array}$$ である。

解答ス：２, セ：８, ソ：２

問題より、生徒は全部で60人で、$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$を除いた人数は52人。
なので、
$\mathrm{D}+\mathrm{E}+\mathrm{F}=60-52$
$\mathrm{D}+\mathrm{E}+\mathrm{F}$$=8$式Ａ
である。

解答タ：８

また、問題より、全60人の生徒の平均点は、国語も英語も$5.4$点。
なので、国語も英語も合計点は
$5.4\times 60=324$式Ｂ
で、$324$点。
スセソより、$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$を除いた国語の合計点は$282$点。

よって、
$$\begin{array}{rl}4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}& =324-282\\ & =42\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$

解答：チ：４, ツ：２

さらに、英語でも同じように式をつくると、
$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+6\mathrm{F}=36$式Ｄ

式Ａ，Ｃ，Ｄの連立方程式を解く。
式Ａの両辺を４倍して、
$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}=32$式Ａ'

式Ａ'と式Ｃで加減法をして、

	$4\mathrm{D}+5\mathrm{E}+8\mathrm{F}$	$=$	$42$
$-)$	$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}$	$=$	$32$
	$\mathrm{E}+4\mathrm{F}$	$=$	$10$	式Ｅ

式Ａ'と式Ｄで加減法をして

	$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+6\mathrm{F}$	$=$	$36$
$-)$	$4\mathrm{D}+4\mathrm{E}+4\mathrm{F}$	$=$	$32$
	$2\mathrm{F}$	$=$	$4$

より、
$\mathrm{F}=2$

これを式Ｅに代入して、
$\mathrm{E}+8=10$
$\mathrm{E}=2$

$\mathrm{E}=2$，$\mathrm{F}=2$を式Ａに代入して、
$\mathrm{D}=4$
である。

解答テ：４, ト：２, ナ：２

式Ｂより、全60人の英語の合計点は、324点。
Ａクラスの英語の合計点は、
平均点は6.0点。 人数は20人。 より、$6\times 20=120$点。
よって、Ａクラス以外の
合計点は、$324-120=204$点。 人数は、$40$人。 となるので、平均点は
${\displaystyle \frac{204}{40}}=5.1$点
である。

解答ニ：５, ヌ：１

ちょっと面倒だけど、この問題でも表を書こう。
問題文中のＡクラス＋他クラスの表をもとに、縦１列ごとに、$M(x)$（英語の平均点）と$N(x)$（英語の得点の中央値）を計算したものが表Ｈである。

表Ｈ

						国語					(点)
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
(点)	10
	9
	8							1		1
英 語	7						5			2	1
	6					4	1	8	5	2
	5					3	5	5	1
	4			2	2	4	2	2	2
	3		1		1
	2
	1
	0
$x$		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$M(x)$			3	4	${\displaystyle \frac{11}{3}}$	5	${\displaystyle \frac{74}{13}}$	${\displaystyle \frac{89}{16}}$	${\displaystyle \frac{43}{8}}$	${\displaystyle \frac{34}{5}}$	7
$N(x)$			3	4	4	5	5	6	6	7	7

表Ｈより、$M(x)\ne N(x)$であるのは$x=3,5,6,7,8$の５個である。

解答ハ：５

さらに、表Ｈより、$M(x)<x$かつ$N(x)<x$であるのは$x=7,8,9$の３個である。

解答ヒ：３