よく見るタイプの問題だけど、決まった解き方があるので憶えておこう。
１.方程式を、文字の部分の式と文字がない部分の式に分ける。 ２.できた二つの式を、$y=$とおいてグラフを描く。 ３.二つのグラフの交点の数を求める。 の３ステップで解く。

方程式を変形して、
$x^3-3x^2-9x+5=a$式Ａ
より、右辺と左辺をそれぞれ$y=$とおいて、
$\{\begin{array}{l}y=x^3-3x^2-9x+5\\ y=a\end{array}$式Ｂ
の２つの式に分ける。

式Ｂを連立方程式として解く場合、一方の$y$を他方に代入すると、式Ａにもどる。
ということは、式Ａは、式Ｂを連立方程式として解いている途中だと考えられる。
なので、式Ａの解の個数は、式Ｂの連立方程式の解の個数と等しい。
ということで、式Ｂの連立方程式の解の個数を調べよう。

連立方程式の解はグラフの共有点なので、共有点の数を調べる。
そのためには、まずグラフを描かないといけない。

$y=x^3-3x^2-9x+5$を微分して、
$y^{\prime }=3x^2-6x-9$
$y^{\prime }$$=3(x^2-2x-3)$
$y^{\prime }$$=3(x+1)(x-3)$
より、$x=-1,3$のとき$y^{\prime }=0$である。

以上から増減表を書くと、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$y^{\prime }$	$+$	$0$	-	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$	$10$	$\searrow$	$-22$	$\nearrow$

となるので、グラフを描くと、

となる。