図Ａで、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{QX}}& =\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\\ & =a\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\end{array}$$ である。

解答ア：ａ

$\mathrm{QX}$⊥$\mathrm{OP}$より
$\overrightarrow{\mathrm{QX}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=0$
なので、
$(a\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q})\cdot \overrightarrow{p}=0$
$a{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$
とかける。

問題文より$\left|\overrightarrow{p}\right|=4$，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=12$なので、上の式は
$4^{2}a-12=0$
$a={\displaystyle \frac{3}{4}}$
となる。

解答イ：３, ウ：４

よって、
$\overrightarrow{\mathrm{OX}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{p}$
だから、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{RX}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}& =(\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\\ & =({\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{p}-\overrightarrow{r})\cdot \overrightarrow{p}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{p}\end{array}$$ ここで、$\left|\overrightarrow{p}\right|=4$，$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{p}=12$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{RX}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 4^2-12=0$
である。

解答エ：０

同様に、$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=b\overrightarrow{q}$とすると、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{PY}}& =\overrightarrow{\mathrm{OY}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\\ & =b\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\end{array}$$ とかける。

$\mathrm{PY}$⊥$\mathrm{OQ}$より $\overrightarrow{\mathrm{PY}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=0$ なので、
$(b\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{q}=0$
$b{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$
とかける。

$\left|\overrightarrow{q}\right|=3\sqrt{2}$，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=12$なので、上の式は
$(3\sqrt{2}{)}^{2}b-12=0$
$b={\displaystyle \frac{2}{3}}$
となるから、
$\overrightarrow{\mathrm{OY}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{q}$
である。

解答オ：２, カ：３

よって、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{RY}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}& =(\overrightarrow{\mathrm{OY}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\\ & =({\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{q}-\overrightarrow{r})\cdot \overrightarrow{q}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3}}{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2-\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}\end{array}$$ ここで、$\left|\overrightarrow{q}\right|=3\sqrt{2}$，$\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}=12$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{RY}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(3\sqrt{2}{)}^2-12=0$
である。

解答キ：０

さて、次は見慣れた交点へのベクトルの問題だ。
図Ｂのように
$\mathrm{QH}:\mathrm{XH}=1-u:u$ $\mathrm{PH}:\mathrm{YH}=v:1-v$ とすると、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OH}}& =(1-u)\overrightarrow{\mathrm{OX}}+u\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}(1-u)\overrightarrow{p}+u\overrightarrow{q}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OH}}& =(1-v)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+v\overrightarrow{\mathrm{OY}}\\ & =(1-v)\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{2}{3}}v\overrightarrow{q}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ なので、連立方程式
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3}{4}}(1-u)=1-v\\ u={\displaystyle \frac{2}{3}}v\end{array}$
ができる。これを解く。

下の式を上の式に代入して、
${\displaystyle \frac{3}{4}}(1-{\displaystyle \frac{2}{3}}v)=1-v$
両辺を$4$倍して、
$3(1-{\displaystyle \frac{2}{3}}v)=4(1-v)$
$3-2v=4-4v$
$v={\displaystyle \frac{1}{2}}$

これを式Ａに代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OH}}& =(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{q}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{q}\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$ となる。

解答ク：１, ケ：２, コ：１, サ：３

緑のルート

まず、緑のルートから。
$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}$
だけど、$\overrightarrow{\mathrm{HK}}=t\overrightarrow{\mathrm{HR}}$とおくので、
$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+t\overrightarrow{\mathrm{HR}}$式Ｃ
とかける。
ここで、$\overrightarrow{\mathrm{HR}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OH}}$なので、式Ｃは
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OK}}& =\overrightarrow{\mathrm{OH}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OH}})\\ & =(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OH}}+t\overrightarrow{\mathrm{OR}}\end{array}$$ となる。

アドバイス

結局、
$\mathrm{HK}:\mathrm{RK}=t:1-t$
とおいたのと同じ式になるけど、問題文の流れに乗ると上のような考えになる。

これに式Ｂと$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$を代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=(1-t)({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{q})+t\overrightarrow{r}$
である。

解答シ：１

この式は、もうちょっと計算して
$\overrightarrow{\mathrm{OK}}={\displaystyle \frac{1-t}{2}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{1-t}{3}}\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}$式Ｄ
としておこう。

緑のルート$=$青いルート

式Ｄ$=$式Ｆより、
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1-t}{2}}=1-k-l\\ {\displaystyle \frac{1-t}{3}}=l\\ t=ks\end{array}$
となる。
この連立方程式からスセの式を作るのだけど、スセの式には$s$，$t$があって$k$，$l$がない。
なので、$k$と$l$を消去する方針で。

真ん中の式を上の式に代入して、
${\displaystyle \frac{1-t}{2}}=1-k-{\displaystyle \frac{1-t}{3}}$
$k=1-{\displaystyle \frac{1-t}{3}}-{\displaystyle \frac{1-t}{2}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{k}& ={\displaystyle \frac{6-2(1-t)-3(1-t)}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{6-5(1-t)}{6}}\end{array}$$

$\phantom{k}={\displaystyle \frac{1+5t}{6}}$
これを下の式に代入して、
$t={\displaystyle \frac{1+5t}{6}}s$
$6t=s+5st$
$(6-5s)t=s$
$t={\displaystyle \frac{s}{6-5s}}$式Ｇ
である。

解答ス：６, セ：５

$\mathrm{PZ}$と$\mathrm{OR}$が垂直ならば、
$\overrightarrow{\mathrm{PZ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=0$
なので、
$(\overrightarrow{\mathrm{OZ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=0$
$(s\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{r}=0$
$s{\left|\overrightarrow{r}\right|}^2-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}=0$
となる。
$\left|\overrightarrow{r}\right|=2\sqrt{7}$，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}=12$なので、上の式は
$s(2\sqrt{7}{)}^2-12=0$
$$\begin{array}{rl}s& ={\displaystyle \frac{12}{(2\sqrt{7}{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{7}}\end{array}$$ となる。

解答ソ：３, タ：７

これを式Ｇに代入して、
$t={\displaystyle \frac{\frac{3}{7}}{6-5\cdot \frac{3}{7}}}$
分母分子を$7$倍して、
$t={\displaystyle \frac{3}{7\cdot 6-5\cdot 3}}$
分母分子を$3$で割って、
$$\begin{array}{rl}t& ={\displaystyle \frac{1}{7\cdot 2-5}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{9}}\end{array}$$ である。

解答チ：１, ツ：９