まず、２倍角の公式の復習をしよう。

公式

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
$\cos 2\theta$$=1-2\sin^{2}\theta$
$\cos 2\theta$$=2\cos^{2}\theta-1$
$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$

公式より、
$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$式Ａ

解答タ：２, チ：１

式Ａの$\theta$に$ 2\theta$を代入して、
$\displaystyle \tan 4\theta=\frac{2\tan 2\theta}{1-\tan^{2}2\theta}$
これに式Ａを代入して、
$\displaystyle \tan 4\theta=\frac{2\cdot\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}}{1-\left(\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}\right)^{2}}$

途中式

$\displaystyle \tan 4\theta$$\displaystyle =\frac{\frac{4\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}}{1-\frac{4\tan^{2}\theta}{(1-\tan^{2}\theta)^{2}}}$
右辺の分母分子に$(1-\tan^{2}\theta)^{2}$をかけて、
$\displaystyle \tan 4\theta=\frac{4\tan\theta(1-\tan^{2}\theta)}{(1-\tan^{2}\theta)^{2}-4\tan^{2}\theta}$
$\displaystyle \tan 4\theta$$\displaystyle =\frac{4\tan\theta-4\tan^{3}\theta}{1-2\tan^{2}\theta+\tan^{4}\theta-4\tan^{2}\theta}$

$\displaystyle \tan 4\theta$$\displaystyle =\frac{-4\tan^{3}\theta+4\tan\theta}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}$②
となる。

解答ツ：４, テ：４, ト：６, ナ：１

①より
$\displaystyle \tan 4\theta=\frac{1}{2}\tan\theta$
なので、②は
$\displaystyle \frac{-4\tan^{3}\theta+4\tan\theta}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}=\frac{1}{2}\tan\theta$

途中式

$\displaystyle \frac{-4\tan^{3}\theta+4\tan\theta}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}-\frac{1}{2}\tan\theta=0$
両辺を２倍して、
$\displaystyle \frac{-8\tan^{3}\theta+8\tan\theta}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}-\tan\theta=0$
通分して、
$\displaystyle \frac{(-8\tan^{3}\theta+8\tan\theta)-\tan\theta(\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1)}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}=0$
$\displaystyle \frac{-\tan\theta\{(8\tan^{2}\theta-8)+(\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1)\}}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}=0$
$\displaystyle \frac{-\tan\theta(\tan^{4}\theta+2\tan^{2}\theta-7)}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}=0$
両辺に$-1$をかけて、

$\displaystyle \frac{\tan\theta(\tan^{4}\theta+2\tan^{2}\theta-7)}{\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1}=0$③
となる。

解答ニ：２, ヌ：７

問題文より、
$\displaystyle \frac{\pi}{8} \lt \theta \lt \frac{3}{8}\pi$
なので、$ 0 \lt \tan\theta$より、
$\tan\theta\neq 0$
だから、③が成り立つためには
$\tan^{4}\theta+2\tan^{2}\theta-7=0$式Ｂ
かつ
$\tan^{4}\theta-6\tan^{2}\theta+1\neq 0$式Ｃ
でないといけない。

ここで
$\tan^{2}\theta=X$
とおくと、式Ｂ，式Ｃは
$X^{2}+2X-7=0$式Ｂ' $X^{2}-6X+1\neq 0$式Ｃ' とかける。

式Ｂを解いて、
$X=\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4(-7)}}{2}$

途中式

$X\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-2\pm 2\sqrt{1+7}}{2}$
$X$$=-1\pm\sqrt{8}$

$X$$=-1\pm 2\sqrt{2}$
$ X=\tan^{2}\theta$なので、$0 \lt X$だから、
$X=-1+2\sqrt{2}$
である。
これは、式Ｃ'を満たす。

この$X$をもとにもどして、
$\tan^{2}\theta=-1+2\sqrt{2}$式Ｄ
$\tan\theta=\pm\sqrt{-1+2\sqrt{2}}$
だけど、$ 0 \lt \tan\theta$なので、
$\tan\theta=\sqrt{-1+2\sqrt{2}}$
である。

解答ネ：１, ノ：２, ハ：２

$\displaystyle \frac{\pi}{6}$，$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の$\tan$を考えると、
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
なので、
$\displaystyle \tan^{2}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{3}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{4}=1$
なので、
$\displaystyle \tan^{2}\frac{\pi}{4}=1$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
なので、
$\displaystyle \tan^{2}\frac{\pi}{3}=3$
となる。

一方、式Ｄより、
$\tan^{2}\theta=-1+2\sqrt{2}$
だけど、$\sqrt{2}$は$1.4$くらいの数なので、
$\tan^{2}\theta\doteqdot-1+2.8$
$\tan^{2}\theta$$=1.8$
である。

また、
$\displaystyle \frac{\pi}{8} \lt \theta \lt \frac{3}{8}\pi$
の範囲で、$\tan\theta$は正の値で単調に増加する。

以上より、
$\displaystyle \tan^{2}\frac{\pi}{4} \lt \tan^{2}\theta \lt \tan^{2}\frac{\pi}{3}$
なので、
$\displaystyle \frac{\pi}{4} \lt \theta \lt \frac{\pi}{3}$
である。

解答ヒ：２