まず、２倍角の公式の復習をしよう。

公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$
$\cos 2\theta$$=1-2{\sin }^2\theta$
$\cos 2\theta$$=2{\cos }^2\theta -1$
$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

公式より、
$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$式Ａ

解答タ：２, チ：１

式Ａの$\theta$に$2\theta$を代入して、
$\tan 4\theta ={\displaystyle \frac{2\tan 2\theta }{1-{\tan }^{2}2\theta }}$
これに式Ａを代入して、
$\tan 4\theta ={\displaystyle \frac{2\cdot \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}{1-{\left(\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }\right)}^2}}$

途中式

$\phantom{\tan 4\theta }={\displaystyle \frac{\frac{4\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}{1-\frac{4{\tan }^2\theta }{(1-{\tan }^2\theta {)}^2}}}$
右辺の分母分子に$(1-{\tan }^2\theta {)}^2$をかけて、
$$\begin{array}{rl}\tan 4\theta & ={\displaystyle \frac{4\tan \theta (1-{\tan }^2\theta )}{(1-{\tan }^2\theta {)}^2-4{\tan }^2\theta }}\\ & ={\displaystyle \frac{4\tan \theta -4{\tan }^3\theta }{1-2{\tan }^2\theta +{\tan }^4\theta -4{\tan }^2\theta }}\end{array}$$

$\phantom{\tan 4\theta }={\displaystyle \frac{-4{\tan }^3\theta +4\tan \theta }{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}$②
となる。

解答ツ：４, テ：４, ト：６, ナ：１

①より
$\tan 4\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta$
なので、②は
${\displaystyle \frac{-4{\tan }^3\theta +4\tan \theta }{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta$

途中式

${\displaystyle \frac{-4{\tan }^3\theta +4\tan \theta }{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta =0$
両辺を２倍して、
${\displaystyle \frac{-8{\tan }^3\theta +8\tan \theta }{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}-\tan \theta =0$
通分して、
${\displaystyle \frac{\left\{\begin{array}{rl}& (-8{\tan }^3\theta +8\tan \theta )\\ & -\tan \theta ({\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1)\end{array}\right\}}{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}=0$
${\displaystyle \frac{-\tan \theta \left\{\begin{array}{rl}& (8{\tan }^2\theta -8)\\ & +({\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1)\end{array}\right\}}{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}=0$
${\displaystyle \frac{-\tan \theta ({\tan }^4\theta +2{\tan }^2\theta -7)}{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}=0$
両辺に$-1$をかけて、

${\displaystyle \frac{\tan \theta ({\tan }^4\theta +2{\tan }^2\theta -7)}{{\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1}}=0$③
となる。

解答ニ：２, ヌ：７

問題文より、
${\displaystyle \frac{\pi }{8}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{8}}\pi$
なので、$0<\tan \theta$より、
$\tan \theta \ne 0$
だから、③が成り立つためには
${\tan }^4\theta +2{\tan }^2\theta -7=0$式Ｂ
かつ
${\tan }^4\theta -6{\tan }^2\theta +1\ne 0$式Ｃ
でないといけない。

ここで
${\tan }^2\theta =X$
とおくと、式Ｂ，式Ｃは
$X^2+2X-7=0$式Ｂ' $X^2-6X+1\ne 0$式Ｃ' とかける。

式Ｂを解いて、
$X={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(-7)}}{2}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{X}& ={\displaystyle \frac{-2\pm 2\sqrt{1+7}}{2}}\\ & =-1\pm \sqrt{8}\end{array}$$

$\phantom{X}=-1\pm 2\sqrt{2}$
$X={\tan }^2\theta$なので、$0<X$だから、
$X=-1+2\sqrt{2}$
である。
これは、式Ｃ'を満たす。

この$X$をもとにもどして、
${\tan }^2\theta =-1+2\sqrt{2}$式Ｄ
$\tan \theta =\pm \sqrt{-1+2\sqrt{2}}$
だけど、$0<\tan \theta$なので、
$\tan \theta =\sqrt{-1+2\sqrt{2}}$
である。

解答ネ：１, ノ：２, ハ：２

${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の$\tan$を考えると、
$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
なので、
${\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=1$
なので、
${\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=1$
$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}$
なので、
${\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=3$
となる。

一方、式Ｄより、
${\tan }^2\theta =-1+2\sqrt{2}$
だけど、$\sqrt{2}$は$1.4$くらいの数なので、
$$\begin{array}{rl}{\tan }^2\theta & \doteqdot -1+2.8\\ & =1.8\end{array}$$ である。

また、
${\displaystyle \frac{\pi }{8}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{8}}\pi$
の範囲で、$\tan \theta$は正の値で単調に増加する。

以上より、
${\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<{\tan }^2\theta <{\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
なので、
${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
である。

解答ヒ：２