$A=\sqrt{2}xy-2\sqrt{5}x+2\sqrt{5}y-10\sqrt{2}$式Ａ
を
$a(x-\alpha )(x-\beta )$
の形に因数分解する。

まず、$xy$の係数の$\sqrt{2}$を共通因数とする。
式Ａを
$A=\sqrt{2}xy-{\sqrt{2}}^2\sqrt{5}x+{\sqrt{2}}^2\sqrt{5}y-10\sqrt{2}$
として、$\sqrt{2}$でくくると、
$$\begin{array}{rl}A& =\sqrt{2}(xy-\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}x+\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}y-10)\\ & =\sqrt{2}(xy-\sqrt{10}x+\sqrt{10}y-{\sqrt{10}}^2)\end{array}$$ となる。

この式の$()$内を、$x$がある項とない項に分けて、それぞれ共通因数を出すと
$$\begin{array}{rl}A& =\sqrt{2}\{(xy-\sqrt{10}x)+(\sqrt{10}y-{\sqrt{10}}^2)\}\\ & =\sqrt{2}\{x(y-\sqrt{10})+\sqrt{10}(y-\sqrt{10})\}\end{array}$$ $()$内は等しいので、$y-\sqrt{10}=M$とおくと、
$$\begin{array}{rl}A& =\sqrt{2}(xM+\sqrt{10}M)\\ & =\sqrt{2}(x+\sqrt{10})M\end{array}$$ $M$をもとに戻して、
$A=\sqrt{2}(x+\sqrt{10})(y-\sqrt{10})$式Ａ'
である。

解答ア：２, イ：１, ウ：０, エ：１, オ：０

式Ａ'に$y=x-6$を代入すると、
$$\begin{array}{rl}A& =\sqrt{2}(x+\sqrt{10})(x-6-\sqrt{10})\\ & =\sqrt{2}(x+\sqrt{10})\{x-(6+\sqrt{10})\}\end{array}$$ と書ける。

このグラフは図Ａのようになるので、$A<0$のときの$x$の範囲は
$-\sqrt{10}<x<6+\sqrt{10}$
である。

解答カ：１, キ：０, ク：６, ケ：１, コ：０

式Ａ'より、
${\displaystyle \frac{1}{A}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(x+\sqrt{10})(y-\sqrt{10})}}$
と書ける。

これに$x=3$，$y=4$を代入して、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{A}}& ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(3+\sqrt{10})(4-\sqrt{10})}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(12+\sqrt{10}-10)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(2+\sqrt{10})}}\end{array}$$ となる。

この分母を有理化する。
分母分子に$\sqrt{2}$をかけて、
${\displaystyle \frac{1}{A}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{10})}}$
さらに、分母分子に$2-\sqrt{10}$をかけて、
${\displaystyle \frac{1}{A}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{10})}{2(2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{1}{A}}}& ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{20}}{2(4-10)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{2(-6)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{-6}}\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{1}{A}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}}$
である。

解答サ：５, シ：２, ス：６