直線$\ell$の式を
$k(x+2)-y=0$式Ａ
とすると、
$\left\{\begin{array}{l}
x+2=0\\
y=0
\end{array}\right.$
つまり
$\left\{\begin{array}{l}
x=-2\\
y=0
\end{array}\right.$
のとき、$k$がどんな値であっても式Ａは成り立つ。
言いかえると、$k$の値によらず $(x,y)=(-2,0)$のとき式Ａは成り立つ。
なので、直線$\ell$は$k$の値によらずに
定点A$(-2,0)$
を通る。

解答ア：－, イ：２, ウ：０

曲線$C$の式
$y=x^{3}-20x$式Ｂ
の右辺は簡単に因数分解できて、
$y=x(x^{2}-20)$
$y$$=x(x+\sqrt{20})(x-\sqrt{20})$
と変形できる。
なので、$x$軸と
$(-\sqrt{20},0)$，$(0,0)$，$(\sqrt{20},0)$
の３点で交わることが分かる。

さらに、
$4 \lt \sqrt{20} \lt 5$
より、
$-5 \lt -\sqrt{20} \lt -4$
なので、点$(-\sqrt{20},0)$は点Ａよりも左にある。

また、式Ｂは三次関数で、$x^{3}$の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

復習

三次関数のグラフは、$x^{3}$の係数が正のとき、全体として右上がりの

のような形に、
$x^{3}$の係数が負のとき、全体として右下がりの

のような形になる。

以上から曲線$C$のグラフを描くと、図Ａができる。

図の固定

図の固定

曲線$C$の接線（例えば図Ｂの緑の線）の式を求める。

点$(t,t^{3}-20t)$における曲線$C$の接線の傾きは、$C$の式を微分して
$y'=3x^{2}-20$
より、
$3t^{2}-20$

この傾きの直線が点$(t,t^{3}-20t)$を通るので、接線の式は
$y-(t^{3}-20t)=(3t^{2}-20)(x-t)$
$y=(3t^{2}-20)x-3t^{3}+20t+t^{3}-20t$
$y$$=(3t^{2}-20)x-2t^{3}$式Ｃ
である。

解答エ：３, オ：２, カ：０, キ：２

接線が点Aを通るとき、グラフは図Ｃのようになる。

図の固定

接線が点Aを通るので、式Ｃに$(-2,0)$を代入して、
$0=(3t^{2}-20)(-2)-2t^{3}$
両辺を$-2$で割って
$3t^{2}-20+t^{3}=0$
$t^{3}+3t^{2}-20=0$式Ｄ

$t=2$のとき式Ｄは成り立つから、$t-2$で割る。
組み立て除法をして、

より、式Ｄは
$(t-2)(t^{2}+5t+10)=0$
と変形できる。
この式の
$t^{2}+5t+10$
の部分は、$t$が実数の範囲で$0$にならない。
なので、式Ｄの方程式の解は
$t=2$
だけである。
よって、接線が点Aを通るのは
$t=2$
のときに限る。

解答ク：２

このとき、接線（図Ｃの緑の直線）の式は、式Ｃに$t=2$を代入して、
$y=(3\cdot 2^{2}-20)x-2\cdot t^{3}$
$y$$=-8x-16$式Ｅ
となる。

解答ケ：－, コ：８, サ：１, シ：６

ここまでで分かったことを図Ｃに書き込むと、図Ｄができる。

図の固定

ちょっと確認すると、曲線Ｃと緑の直線は、
$x=2$で接する $x=2$以外に交点がある（図Ｄの青い点）

この時点で、問題文中のソは$2$だと分かるんだけど、スセ（図Ｄの青い点の$x$座標）が分からない。
というわけで、連立方程式だ。

曲線Ｃの式と式Ｅより、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
y=x^{3}-20x\\
y=-8x-16
\end{array}\right.$
ができる。
上の式から下の式を辺々引いて、
$(x^{3}-20x)-(-8x-16)=0$
$x^{3}-12x+16=0$式Ｆ
となる。

さっき確認したように、曲線Ｃと緑の直線は$x=2$で接し、$x=$スセで交わるから、式Ｆは
$(x-2)^{2}(x-$スセ$)=0$式Ｇ
と因数分解できるはずだ。
なので、式Ｇを展開すると、式Ｆになる。
全部展開するのは面倒なので、定数項だけ考えると、
$(-2)^{2}(-$スセ$)=16$
$-4$スセ$=16$
スセ$=-4$
である。

解答ス：－, セ：４, ソ：２

これまでの話を整理すると、
$P(x)=0$の実数解は、曲線$C$と直線$\ell$の共有点 実数解が１つのときの$k$の値の範囲を知りたい 直線$\ell$は傾きが$k$で、点Aを通る $k=8$のとき、図Ｄのように$C$と$\ell$は接する である。

なので、直線$\ell$の傾きをいろいろ変えてみて、共有点の数を考える。
言いかえると、直線$\ell$を点Aを中心にして回転させ、共有点の数を考えよう。

まず、左回り（反時計回り）から。
図Ｅを見てほしい。

図の固定

さっき求めた式Ｅのグラフ（緑の直線）を、左回りに回転してみる。
傾きは$-8$より大きくなるから、$k$の値も$-8$より大きくなる。
このとき、例えば青い直線みたいなのができるけど、いずれも曲線Ｃと２つ以上の共有点をもつから、不適。

もっと回転して、垂直な線（紫の線）になった場合、曲線Ｃとの共有点はひとつだけど、
$y=kx+$△
の形の式で表せないから、直線$\ell$にはなれない。なので不適。

緑の線も、曲線Ｃと共有点を２つもつから、不適。

よって、傾き$k$が、
$-8\leqq k$
となる範囲は、すべて不適。

一方、図Ｆのように、緑の直線を右回り（時計回り）させる場合は、曲線Ｃとの共有点はひとつだけだからOK。

図の固定

このとき、傾き$k$は、
$k \lt -8$
となる。

解答タ：－, チ：８

このときの実数解$\alpha$は、直線と曲線Ｃの交点の$x$座標。
交点は、図Ｆのオレンジの部分（両端を含まない）以外にはあり得ないので、
$-4 \lt \alpha \lt -2$
である。

解答ツ：－, テ：４, ト：－, ナ：２

三次関数がらみの図形の面積なので、積分しよう。
だけど、
$y=P(x)$
$y$$=x^{3}-(k+20)x-2k$式Ｈ
のグラフと
$y=x^{3}-kx^{2}-20x$式Ｉ
のグラフの、どっちが上にあるか分からない。
もしかすると、$1 \lt x \lt 2$の範囲で交わっていて、上下が入れ替わっているかも知れない。
なので、まず２つのグラフの交点を求めよう。

式Ｈから式Ｉを辺々引いて、
$kx^{2}-kx-2k=0$
共通因数$k$でくくると、
$k(x^{2}-x-2)=0$式Ｊ
なので、$k=0$のとき、すべての$x$が解になる。
つまり、２つの式は同じグラフになる。
今は囲まれた図形の面積が$1$になる場合を求めているので、$k=0$は不適。

$k\neq 0$のとき、式Ｊが成り立つのは、
$x^{2}-x-2=0$
の場合。
因数分解して、
$(x+1)(x-2)=0$
より
$x=-1,2$
の場合。
つまり、２つのグラフは、
$x=-1,2$
で共有点をもつ。

このことから、
$-1 \lt x \lt 2$
の範囲で、２つのグラフの上下は入れ替わらないから、一度に積分できることが分かる。

で、どっちのグラフが上にあるか考える。
２つのグラフは
$-1 \lt x \lt 2$
の範囲で上下が入れ替わらないので、式Ｈと式Ｉの$x$に$-1 \lt x \lt 2$の範囲の簡単な値を代入して比べよう。
式Ｈに$x=0$を代入して、
$y=-2k$
式Ｉに$x=0$を代入して、
$y=0$
なので、
$0 \lt -2k$
つまり
$k \lt 0$
のとき、式Ｈが上
$-2k \lt 0$
つまり
$0 \lt k$
のとき、式Ｉが上
である。