直線$\ell$の式を
$k(x+2)-y=0$式Ａ
とすると、
$\{\begin{array}{l}x+2=0\\ y=0\end{array}$
つまり
$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}$
のとき、$k$がどんな値であっても式Ａは成り立つ。

言いかえると、$k$の値によらず $(x,y)=(-2,0)$のとき式Ａは成り立つ。
なので、直線$\ell$は$k$の値によらずに
定点A$(-2,0)$
を通る。

解答ア：－, イ：２, ウ：０

曲線$C$の式
$y=x^3-20x$式Ｂ
の右辺は簡単に因数分解できて、
$$\begin{array}{rl}y& =x(x^2-20)\\ & =x(x+\sqrt{20})(x-\sqrt{20})\end{array}$$ と変形できる。
なので、$x$軸と
$(-\sqrt{20},0)$，$(0,0)$，$(\sqrt{20},0)$
の３点で交わることが分かる。

さらに、
$4<\sqrt{20}<5$
より、
$-5<-\sqrt{20}<-4$
なので、点$(-\sqrt{20},0)$は点Ａよりも左にある。

また、式Ｂは三次関数で、$x^3$の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

復習

三次関数のグラフは、$x^3$の係数が正のとき、全体として右上がりの

のような形に、
$x^3$の係数が負のとき、全体として右下がりの

のような形になる。

以上から曲線$C$のグラフを描くと、図Ａができる。

図の固定

図の固定

曲線$C$の接線（例えば図Ｂの緑の線）の式を求める。

点$(t,t^3-20t)$における曲線$C$の接線の傾きは、$C$の式を微分して
$y^{\prime }=3x^2-20$
より、
$3t^2-20$

この傾きの直線が点$(t,t^3-20t)$を通るので、接線の式は
$y-(t^3-20t)=(3t^2-20)(x-t)$
$$\begin{array}{rl}y& =(3t^2-20)x-3t^3+20t+t^3-20t\\ & =(3t^2-20)x-2t^3\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ である。

解答エ：３, オ：２, カ：０, キ：２

接線が点Aを通るとき、グラフは図Ｃのようになる。

図の固定

接線が点Aを通るので、式Ｃに$(-2,0)$を代入して、
$0=(3t^2-20)(-2)-2t^3$
両辺を$-2$で割って
$3t^2-20+t^3=0$
$t^3+3t^2-20=0$式Ｄ

$t=2$のとき式Ｄは成り立つから、$t-2$で割る。
組み立て除法をして、

より、式Ｄは
$(t-2)(t^2+5t+10)=0$
と変形できる。
この式の
$t^2+5t+10$
の部分は、$t$が実数の範囲で$0$にならない。
なので、式Ｄの方程式の解は
$t=2$
だけである。
よって、接線が点Aを通るのは
$t=2$
のときに限る。

解答ク：２

このとき、接線（図Ｃの緑の直線）の式は、式Ｃに$t=2$を代入して、
$$\begin{array}{rl}y& =(3\cdot 2^2-20)x-2\cdot t^3\\ & =-8x-16\mathrm{式}Ｅ\end{array}$$ となる。

解答ケ：－, コ：８, サ：１, シ：６

ここまでで分かったことを図Ｃに書き込むと、図Ｄができる。

図の固定

ちょっと確認すると、曲線Ｃと緑の直線は、
$x=2$で接する $x=2$以外に交点がある（図Ｄの青い点）

この時点で、問題文中のソは$2$だと分かるんだけど、スセ（図Ｄの青い点の$x$座標）が分からない。
というわけで、連立方程式だ。

曲線Ｃの式と式Ｅより、連立方程式
$\{\begin{array}{l}y=x^3-20x\\ y=-8x-16\end{array}$
ができる。
上の式から下の式を辺々引いて、
$(x^3-20x)-(-8x-16)=0$
$x^3-12x+16=0$式Ｆ
となる。

さっき確認したように、曲線Ｃと緑の直線は$x=2$で接し、$x=\boxed{\text{スセ}}$で交わるから、式Ｆは
$(x-2{)}^2(x-\boxed{\text{スセ}})=0$式Ｇ
と因数分解できるはずだ。
なので、式Ｇを展開すると、式Ｆになる。
全部展開するのは面倒なので、定数項だけ考えると、
$(-2{)}^2(-\boxed{\text{スセ}})=16$
$-4\boxed{\text{スセ}}=16$
$\boxed{\text{スセ}}=-4$
である。

解答ス：－, セ：４, ソ：２

これまでの話を整理すると、
$P(x)=0$の実数解は、曲線$C$と直線$\ell$の共有点 実数解が１つのときの$k$の値の範囲を知りたい 直線$\ell$は傾きが$k$で、点Aを通る $k=8$のとき、図Ｄのように$C$と$\ell$は接する である。

なので、直線$\ell$の傾きをいろいろ変えてみて、共有点の数を考える。
言いかえると、直線$\ell$を点Aを中心にして回転させ、共有点の数を考えよう。

まず、左回り（反時計回り）から。
図Ｅを見てほしい。

図の固定

さっき求めた式Ｅのグラフ（緑の直線）を、左回りに回転してみる。
傾きは$-8$より大きくなるから、$k$の値も$-8$より大きくなる。
このとき、例えば青い直線みたいなのができるけど、いずれも曲線Ｃと２つ以上の共有点をもつから、不適。

もっと回転して、垂直な線（紫の線）になった場合、曲線Ｃとの共有点はひとつだけど、
$y=kx+\text{実数}$
の形の式で表せないから、直線$\ell$にはなれない。なので不適。

緑の線も、曲線Ｃと共有点を２つもつから、不適。

よって、傾き$k$が、
$-8\leqq k$
となる範囲は、すべて不適。

一方、図Ｆのように、緑の直線を右回り（時計回り）させる場合は、曲線Ｃとの共有点はひとつだけだからOK。

図の固定

このとき、傾き$k$は、
$k<-8$
となる。

解答タ：－, チ：８

このときの実数解$\alpha$は、直線と曲線Ｃの交点の$x$座標。
交点は、図Ｆのオレンジの部分（両端を含まない）以外にはあり得ないので、
$-4<\alpha <-2$
である。

解答ツ：－, テ：４, ト：－, ナ：２

三次関数がらみの図形の面積なので、積分しよう。
だけど、
$$\begin{array}{rl}y& =P(x)\\ & =x^3-(k+20)x-2k\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ のグラフと
$y=x^3-k{x}^2-20x$式Ｉ
のグラフの、どっちが上にあるか分からない。
もしかすると、$1<x<2$の範囲で交わっていて、上下が入れ替わっているかも知れない。
なので、まず２つのグラフの交点を求めよう。

式Ｈから式Ｉを辺々引いて、
$k{x}^2-kx-2k=0$
共通因数$k$でくくると、
$k(x^2-x-2)=0$式Ｊ
なので、$k=0$のとき、すべての$x$が解になる。
つまり、２つの式は同じグラフになる。
今は囲まれた図形の面積が$1$になる場合を求めているので、$k=0$は不適。

$k\ne 0$のとき、式Ｊが成り立つのは、
$x^2-x-2=0$
の場合。
因数分解して、
$(x+1)(x-2)=0$
より
$x=-1,2$
の場合。
つまり、２つのグラフは、
$x=-1,2$
で共有点をもつ。

このことから、
$-1<x<2$
の範囲で、２つのグラフの上下は入れ替わらないから、一度に積分できることが分かる。

で、どっちのグラフが上にあるか考える。
２つのグラフは
$-1<x<2$
の範囲で上下が入れ替わらないので、式Ｈと式Ｉの$x$に$-1<x<2$の範囲の簡単な値を代入して比べよう。
式Ｈに$x=0$を代入して、
$y=-2k$
式Ｉに$x=0$を代入して、
$y=0$
なので、
$0<-2k$
つまり
$k<0$
のとき、式Ｈが上
$-2k<0$
つまり
$0<k$
のとき、式Ｉが上
である。