図の固定

３辺の長さが分かっていて、ひとつの角の$\cos$が問われているので、余弦定理を使おう。
図Ａで余弦定理を使って、
$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cdot\cos\angle \mathrm{BAC}$
$7^{2}=5^{2}+6^{2}-2\cdot 5\cdot 6\cos\angle \mathrm{BAC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}=\frac{5^{2}+6^{2}-7^{2}}{2\cdot 5\cdot 6}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{12}{2\cdot 5\cdot 6}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{1}{5}$
となる。

解答ア：１, イ：５

$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\cos^{2}\angle \mathrm{BAC}=1$なので、
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}=1-\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{24}{25}$
$0 \lt \sin\angle \mathrm{BAC}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{24}}{5}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{6}}{5}$
である。

解答ウ：２, エ：６, オ：５

△$\mathrm{ABC}$の面積は、
△$\displaystyle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cdot\sin\angle \mathrm{BAC}$なので、
△$\displaystyle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\frac{2\sqrt{6}}{5}$
△$\mathrm{ABC}$$=6\sqrt{6}$
である。

解答カ：６, キ：６

なので、内接円の半径を$r$として、
△$\displaystyle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA})$
$6\displaystyle \sqrt{6}=\frac{1}{2}r(5+7+6)$
$6\displaystyle \sqrt{6}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 18r$
$6\sqrt{6}$$=9r$
$r=\displaystyle \frac{6\sqrt{6}}{9}$
$r\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\sqrt{6}}{3}$
である。

解答ク：２, ケ：６, コ：３

また、内接円$\mathrm{I}$と△$\mathrm{ABC}$の接点を、図Ａのように$\mathrm{T}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$とすると、
$\mathrm{AT}=\mathrm{AY}$ $\mathrm{BT}=\mathrm{BX}$ $\mathrm{CY}=\mathrm{CX}$ である。
よって、$\mathrm{AT}=\mathrm{AY}=x$とおくと、
$\mathrm{BT}=\mathrm{BX}=5-\mathrm{x}$ $\mathrm{CY}=\mathrm{CX}==6-x$ となる。
また、
$\mathrm{BX}+\mathrm{CX}=\mathrm{BC}$ より、
$(5-x)+(6-x)=7$
$11-2x=7$
$2x=4$
$x=2$
なので、
$\mathrm{AT}=2$
である。

解答サ：２

復習の性質より、
$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$ $\mathrm{BL}=\mathrm{BM}$ $\mathrm{CL}=\mathrm{CN}$ である。
$\mathrm{BL}=\mathrm{BM}=x$ $\mathrm{CL}=\mathrm{CN}=y$ とおくと、
$\mathrm{BL}+\mathrm{CL}=7$なので、
$x+y=7$式Ａ $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$なので、
$x+5=y+6$式Ｂ この２つの式を連立方程式として解く。

式Ｂより、
$x-y=1$
これと式Ａを辺々たして、
    $x+y=7$
$\underline{+)x-y=1}$
  $2x$      $=8$
    $x$     $=4$

なので、
$\mathrm{BL}=\mathrm{BM}=4$
である。

解答シ：４

これを式Ａに代入して、
$4+y=7$
$y=3$
なので、
$\mathrm{CL}=\mathrm{CN}=3$
となる。

解答ス：３

$\mathrm{AN}=6+\mathrm{CN}$なので、
$\mathrm{AN}=9$
である。

解答セ：９

図の固定

ここで、△$\mathrm{AIT}$（図Ｄの斜線の三角形）と△$\mathrm{APM}$（図Ｄの赤い三角形）は相似で、相似比は
$\mathrm{AT}:\mathrm{AM}=2:5+4$
$\mathrm{AT}:\mathrm{AM}$$=2:9$
である。

よって、
$\mathrm{AI}:\mathrm{AP}=2:9$
である。

解答ソ：２, タ：９

また、
$\mathrm{IT}:\mathrm{PM}=2:9$ $\mathrm{IT}=$△$\mathrm{ABC}$の内接円の半径$=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}$ なので、
$\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}:\mathrm{PM}=2:9$
$2\displaystyle \mathrm{PM}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\times 9$
$\mathrm{PM}=3\sqrt{6}$
となる。

解答チ：３, ツ：６

図がごちゃごちゃしてきたので、図Ｅに必要な情報だけ整理した。

図の固定

図Ｅ中、線分$\mathrm{PL}$上に中心をもち、点$\mathrm{C}$を通る円をオレンジで表した。
このオレンジの円と線分$\mathrm{BC}$の交点で、$\mathrm{B}$じゃない点を$\mathrm{Z}$とする。
また、点$\mathrm{B}$からオレンジの円に引いた接線の、オレンジの円との接点を$\mathrm{W}$とする。

接点までの距離を聞かれているので、まず方べきの定理を疑おう。
図Ｅ中の赤い２本の線に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{BW}^{2}=\mathrm{BZ}\cdot \mathrm{BC}$式Ｃ
となる。
$\mathrm{BC}$は分かっているので、あとは$\mathrm{BZ}$を求めよう。

図Ｅの青い三角形と緑の三角形は合同なので、
$\mathrm{ZL}=\mathrm{CL}$
である。
スより$\mathrm{CL}=3$なので、
$\mathrm{ZL}=\mathrm{CL}=3$
だから、
$\mathrm{BZ}=7-3\cdot 2$
$\mathrm{BZ}$$=1$
である。

これを式Ｃに代入して、
$\mathrm{BW}^{2}=1\cdot 7$
$\mathrm{BW}^{2}$$=7$
$\mathrm{BW}=\sqrt{7}$
となる。

解答テ：７