真数条件より、
$\{\begin{array}{l}0<6-x\\ 0<x-1\end{array}$
である。

これを計算して、
$0<6-x$
$x<6$
$0<x-1$
$1<x$
より、
$1<x<6$式Ａ
となる。

解答ア：１, イ：６

$uv\leqq 0$になるのは
$0\leqq u$ かつ $v\leqq 0$ $u\leqq 0$ かつ $0\leqq v$ のいずれかのとき。

$0\leqq u$ かつ $v\leqq 0$のとき、
$\{\begin{array}{l}0\leqq {\log }_2(6-x)\\ {\log }_2(x-1)\leqq 0\end{array}$式Ｂ
だけど、この式は一方の辺が$\log$，もう一方の辺が$\log$じゃないので、そのままだと計算できない。
だから、両辺とも$\log$にしよう。

復習

$\log$じゃない項を$\log$にする方法の復習をしよう。。
ここでは、$k$という項を、底が$a$の$\log$にしてみる。

${\log }_{a}a=1$なので、
$$\begin{array}{rl}k& =k\times {\log }_{a}a\\ & ={\log }_a{a}^k\end{array}$$ と変形できる。

混乱しないでほしいのだけど、ここで説明した方法は、例えば
${\log }_{2}5x=3$
のように、ひとつの式の中に$\log$の項と$\log$じゃない項が混じっているとき、$\log$じゃない項を$\log$にする方法である。
$3^{20}={10}^x$
のように、全部の項が$\log$じゃないときは
${\log }_{10}{3}^{20}={\log }_{10}{10}^x$
と、普通に両辺の対数をとればよい。

復習の方法を使って、式Ｂは
$\{\begin{array}{l}0\times {\log }_{2}2\leqq {\log }_2(6-x)\\ {\log }_2(x-1)\leqq 0\times {\log }_{2}2\end{array}$
と変形できる。

これをそれぞれ計算して、
$0\times {\log }_{2}2\leqq {\log }_2(6-x)$
${\log }_2{2}^0\leqq {\log }_2(6-x)$
底が$1$より大きいので、
$2^0\leqq 6-x$
$1\leqq 6-x$
$x\leqq 5$式Ｃ
${\log }_2(x-1)\leqq 0\times {\log }_{2}2$
${\log }_2(x-1)\leqq {\log }_2{2}^0$
底が$1$より大きいので、
$x-1\leqq 2^0$
$x-1\leqq 1$
$x\leqq 2$式Ｄ
となる。
なので、$0\leqq u$，$v\leqq 0$になるのは、式Ａ，式Ｃ，式Ｄの重なる範囲の
$1<x\leqq 2$
である。

解答ウ：２

$u\leqq 0$ かつ $0\leqq v$のとき、
$\{\begin{array}{l}{\log }_2(6-x)\leqq 0\\ 0\leqq {\log }_2(x-1)\end{array}$
だけど、この式は式Ｂの不等号の向きが変わっただけ。
なので、答も、
式Ｃより
$5\leqq x$
式Ｄより
$2\leqq x$
となるはずなので、な$u\leqq 0$，$0\leqq v$になるのは、
$5\leqq x<6$
である。

解答エ：５

復習

相加平均と相乗平均の関係は、
$0\leqq A$，$0\leqq B$のとき、
$A+B\geqq 2\sqrt{AB}$
で、等号が成り立つのは
$A=B$
のときだった。

$2<x<5$の間で$0<u$，$0<v$なので、相加平均と相乗平均の関係より、
$2\sqrt{uv}\leqq u+v$
より
$\sqrt{uv}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(u+v)$
である。
これに$u$，$v$の式を代入して、
$\sqrt{uv}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}({\log }_2(6-x)+{\log }_2(x-1))$
$\sqrt{uv}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2(6-x)(x-1)$
$\sqrt{uv}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2(-x^2+7x-6)$(＊)
となる。

解答オ：－, カ：７, キ：６

(＊)式の右辺を見ると、底は$1$より大きいので、真数の
$-x^2+7x-6$式Ｅ
が最大のとき
${\log }_2(-x^2+7x-6)$
も最大になる。
なので、式Ｅの最大を求めよう。

式Ａを平方完成すると、
$-(x^2-7x)-6$

途中式

$$\begin{array}{rl}& =-\{x^2-7x+{\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2\}-6\\ & =-{(x-{\displaystyle \frac{7}{2}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2-6\\ & =-{(x-{\displaystyle \frac{7}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{49}{4}}-{\displaystyle \frac{24}{4}}\end{array}$$

$=-{(x-{\displaystyle \frac{7}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}$
となるので、
式Ｅは、$x={\displaystyle \frac{7}{2}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{25}{4}}$
をとる。

解答ク：７, ケ：２, コ：２, サ：５, シ：４

この$x={\displaystyle \frac{7}{2}}$は$2<x<5$の範囲に入る。
また、$x={\displaystyle \frac{7}{2}}$のとき、
$$\begin{array}{rl}u& ={\log }_2(6-{\displaystyle \frac{7}{2}})\\ & ={\log }_2{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}v& ={\log }_2({\displaystyle \frac{7}{2}}-1)\\ & ={\log }_2{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$ なので、$u=v$となり、(＊)式の等号が成り立つ。

よって、$\sqrt{uv}$の最大値は、(＊)式の$-x^2+7x-6$に${\displaystyle \frac{25}{4}}$を代入した
${\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2{\displaystyle \frac{25}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2{\displaystyle \frac{25}{4}}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2\times {\log }_2\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\\ & ={\log }_{2}5-{\log }_{2}2\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2{\displaystyle \frac{25}{4}}}={\log }_{2}5-1$式Ｆ
となる。

ここで問われているのは$\sqrt{uv}$の最大値ではなく、$uv$の最大値なので、式Ｆを２乗して、
$({\log }_{2}5-1{)}^2$
が答だ。

解答ス：５, セ：１, ソ：２