１回戦の得点の平均値は、30点を仮平均として計算しよう。
参加者の得点からそれぞれ30を引くと、表Ａのようになる。

表Ａ

番号	１回戦
	点	点-30
1	33	3
2	44	14
3	30	0
4	38	8
5	29	-1
6	26	-4
7	43	13
8	23	-7
9	28	-2
10	34	4
11	33	3
12	26	-4
13	36	6
14	30	0
15	27	-3

表Ａの右端の列の数字は、$+$と-をセットで消して、残った数字で平均値を出すと、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3+14+13}{15}}& ={\displaystyle \frac{30}{15}}\\ & =2\end{array}$$ これを仮平均の$30$にたして、
$30+2=32$
より、平均値は$32.0$点である。

解答ア：３, イ：２, ウ：０

上位10人の得点の平均値が${\mathrm{A}}_1$なので、上位10人の合計得点は$10{\mathrm{A}}_1$
下位５人の得点の平均値が${\mathrm{A}}_2$なので、下位５人の合計得点は$5{\mathrm{A}}_2$
なので、全体の平均$\mathrm{A}$は、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{A}& ={\displaystyle \frac{10{\mathrm{A}}_1+5{\mathrm{A}}_2}{15}}\\ & ={\displaystyle \frac{10{\mathrm{A}}_1}{15}}+{\displaystyle \frac{5{\mathrm{A}}_2}{15}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{A}}_1+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\mathrm{A}}_2\end{array}$$ と表せる。

解答エ：２, オ：３, カ：１, キ：３

ついでに、分散と標準偏差の復習もしておこう。

復習

分散$s^2$の定義は、
「偏差の２乗の平均」
つまり、
$s^2={\displaystyle \frac{(\mathrm{値}-\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{値}{)}^2\mathrm{の}\mathrm{和}}{\mathrm{デ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{の}\mathrm{大}\mathrm{き}\mathrm{さ}}}$
である。

公式

データ$\{x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n\}$があって、その平均値が$\bar{x}$のとき、
$$\begin{array}{rl}{s}^2& ={\displaystyle \frac{\left\{\begin{array}{rl}& (x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2\\ & +\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\end{array}\right\}}{n}}\mathrm{式}Ａ\\ & =\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$

を憶えておこう。

さらに、標準偏差は分散の正の平方根である。
分散を$s^2$，標準偏差を$s$とすると、
$s=\sqrt{s^2}$
である。

得点が２桁なので、式Ｂを使って求めるのは面倒なので、式Ａを使う。

それぞれの選手の得点について、偏差と偏差の２乗を求めると、表Ｂができる。

表Ｂ

番号	２回戦
	得点	偏差	偏差の２乗
1	37	0	0
2	44	7	49
3	34	-3	9
4	35	-2	4
5	30	-7	49
6	-	-	-
7	41	4	16
8	-	-	-
9	-	-	-
10	38	1	1
11	33	-4	16
12	-	-	-
13	41	4	16
14	37	0	0
15	-	-	-

さらに、標準偏差は、
$\sqrt{16.00}=4.0$
である。

解答セ：４, ソ：０

$\mathrm{D}-43=x$ $\mathrm{E}-43=y$ $\mathrm{F}-43=z$ なので、$x$，$y$，$z$はそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の偏差になる。
よって、３回戦に参加した４人の選手の偏差は、$x$，$0$，$y$，$z$である。

また、$\mathrm{F}<\mathrm{E}<43<\mathrm{D}$なので、
$z<y<0<x$式Ｃ
である。

以上より、
偏差の和は$0$なので、
$x+0+y+z=0$
$x+y+z=0$式Ｄ 範囲は$7$なので、
$x-z=7$式Ｅ 分散は$6.50$なので、
${\displaystyle \frac{x^2+0^2+y^2+z^2}{4}}=6.50$
$x^2+y^2+z^2=26$式Ｆ である。

解答タ：０, チ：７，ツ：２，テ：６

この式Ｄ，式Ｅ，式Ｆの連立方程式を解く。

式Ｅより、
$x=z+7$式Ｅ'
これを式Ｄに代入して、
$(z+7)+y+z=0$
$y=-2z-7$式Ｄ'
式Ｄ'，式Ｅ'を式Ｆに代入して、
$(z+7{)}^2+(-2z-7{)}^2+z^2=26$

途中式

$\begin{array}{rl}{z}^2+2\cdot 7z+& 7^2+4z^2\\ & +4\cdot 7z+7^2+z^2-26=0\end{array}$
$6z^2+6\cdot 7z+2\cdot 7^2-26=0$
$6z^2+6\cdot 7z+2\cdot (7^2-13)=0$
$6z^2+6\cdot 7z+2\cdot 36=0$
$z^2+7z+12=0$

$(z+4)(x+3)=0$
より、
$z=-4$，$-3$

$z=-4$のとき、
式Ｄ'より、
$$\begin{array}{rl}y& =-2\cdot (-4)-7\\ & =1\end{array}$$ となるけど、これは式Ｃに当てはまらない。

$z=-3$のとき、
式Ｄ'より、
$$\begin{array}{rl}y& =-2\cdot (-3)-7\\ & =-1\end{array}$$ 式Ｅ'より、
$$\begin{array}{rl}x& =-3+7\\ & =4\end{array}$$ となる。これは式Ｃに当てはまる。

以上の$x$，$y$，$z$を
$\mathrm{D}-43=x$ $\mathrm{E}-43=y$ $\mathrm{F}-43=z$ に代入して、
$\mathrm{D}=47$ $\mathrm{E}=42$ $\mathrm{F}=40$ となる。

解答ト：４, ナ：７, ニ：４, ヌ：２, ネ：４, ノ：０

⓪～③の４つの相関図を見比べると、黒い点は同じ場所にあるけれど、他の色の点は場所が変わっている。
なので、黒以外の点だけ確認しよう。

まず、赤い点。
$p$（１回戦の得点）が$33$の選手を問題文中の表で探すと、番号１と番号11が該当する。
番号１の$q$（２回戦の得点）は$37$，番号11の$q$は$33$なので、⓪，①の赤い点は存在しない。
なので、⓪と①は不適だ。

次に、オレンジの点。
$p$（１回戦の得点）が$44$の選手を問題文中の表で探すと、番号２が該当する。
番号２の$q$は$44$なので、③のオレンジの点は存在しない。
なので、③も不適。

よって、適切なものは②である。

解答ハ：２

②の相関図を見ると、点は左下から右上に並んで分布する傾向があることが分かる。なので、正の相関関係があると考えられる。

解答ヒ：０

データの大きさは10人くらいなので、頭を使うよりも手を使って、$r$を計算してしまおう。
ただし、$q$（２回戦の得点）が$p$（１回戦の得点）よりも低い場合は$r$は負になるけど、この人数は問題文中の度数分布表から２人だと分かっているので、計算しない。

表Ｃ

番号	$p$ (１回戦)	$q$ (２回戦)	$r={\displaystyle \frac{q-p}{p}}\times 100$
1	33	37	${\displaystyle \frac{400}{33}}$
2	44	44	$0$
3	30	34	${\displaystyle \frac{400}{30}}$
4	38	35	-
5	29	30	${\displaystyle \frac{100}{29}}$
6	26	-	-
7	43	41	-
8	23	-	-
9	28	-	-
10	34	38	${\displaystyle \frac{400}{34}}$
11	33	33	$0$
12	26	-	-
13	36	41	${\displaystyle \frac{500}{36}}$
14	30	37	${\displaystyle \frac{700}{30}}$
15	27	-	-

表Ｃより、$r$が$10$未満なのは、３人。（$r$が負の場合を除く）
なので、問題文中の度数分布表のGは、３人である。

解答フ：３

２回戦に参加した人数が10人で、H以外の人数が
$2+3+1=6$人
なので、Hは４人である。

解答ヘ：４