大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説
ア～カ
関数の式を
$ y=\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta-2\sqrt{3}\cos\theta-2\sin\theta$式Ａ
とする。
$ t=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$式Ｂ
を見ると、三角関数の合成をしたくなるけど、次の行が
$t^{2}=$
の形なので、まず両辺を２乗しよう。
$ t^{2}=\sin^{2}\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+3\cos^{2}\theta$
アイウエの式を見ると$\sin^{2}\theta$がないので、$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$を代入して消すと、
$ t^{2}=1-\cos^{2}\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+3\cos^{2}\theta$
$t^{2}$$=2\cos^{2}\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+1$式Ｃ
となる。
解答ア：２, イ：２, ウ：３, エ：１
これから、式Ａ，式Ｂ，式Ｃを使って、$y$を$t$の式で表す。
式Ａの後半の
$-2\sqrt{3}\cos\theta-2\sin\theta$
の部分は
$-2(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)$
と変形できる。この式の$()$内は、式Ｂより$t$なので、
$-2\sqrt{3}\cos\theta-2\sin\theta=-2t$式Ｄ
と書ける。
式Ａの前半の
$\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta$
の式部分には角度が$ 2\theta$の三角比があるので、
解法１
２倍角の公式から式Ｃを$ 2\theta$の三角比に変換する
解法２
２倍角の公式から式Ａを$\theta$の三角比に変換する
のどちらかの方法をとる。
それぞれの解法に入る前に、２倍角の公式の復習をしておこう。
公式
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
$\cos 2\theta$$=2\cos^{2}\theta-1$
$\cos 2\theta$$=1-2\sin^{2}\theta$
$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$
解法１
公式より、
$ 2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta$
$2\cos^{2}\theta=\cos 2\theta+1$
これを式Ｃに代入して、
$t^{2}=(\cos 2\theta+1)+\sqrt{3}(\sin 2\theta)+1$
$t^{2}=\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta+2$
$\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta=t^{2}-2$式Ｃ'
式Ｃ'と式Ｄを式Ａに代入して、
$y=t^{2}-2-2t$
$y$$=t^{2}-2t-2$式Ｅ
である。
解答オ：２, カ：２
解法２
ストーリーを簡単にするために、先に式Ａに式Ｄを代入しておこう。
$y=\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta-2t$
２倍角の公式を代入して、
$y=(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)+\sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta)-2t$
$y=(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-2t$
この式に式Ｃを代入したい。
式Ｃには$\sin^{2}\theta$がないので、$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$を代入して消すと、
$y=\{\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)\}+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-2t$
$y$$=(2\cos^{2}\theta-1)+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-2t$
$y$$=2\cos^{2}\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-2t-1$式Ａ'
式Ｃを
$t^{2}=2\cos^{2}\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+1$
$2\cos^{2}\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta=t^{2}-1$
と変形して、式Ａ'に代入すると、
$y=(t^{2}-1)-2t-1$
$y$$=t^{2}-2t-2$式Ｅ
である。
解答オ：２, カ：２
キ～セ
今度は式Ｂの合成だ。
$ t=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$
$t$$=2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$式Ｆ
である。
解答キ：２, ク：３
問題文より
$-\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq 0$
なので、この各辺に$\displaystyle \frac{\pi}{3}$をたすと、
$-\displaystyle \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\leqq\theta+\frac{\pi}{3}\leqq\frac{\pi}{3}$
$-\displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq\theta+\frac{\pi}{3}\leqq\frac{\pi}{3}$式Ｇ
である。
解答ケ：６
式Ｇの範囲は、図Ａの緑の範囲。
![大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ａ](_image/2B_1_1_01.svg)
$\displaystyle \theta+\frac{\pi}{3}$がこの範囲のとき、$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$は赤い範囲になるので、
$-\displaystyle \frac{1}{2}\leqq\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}$
各辺を２倍して、
$-1\leqq 2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\leqq\sqrt{3}$
この式の中辺は、式Ｆより$t$なので、
$-1\leqq t\leqq\sqrt{3}$式Ｈ
である。
解答コ：－, サ：１, シ：３
式Ｈの範囲で、式Ｅの二次関数の最小値を求めよう。
式Ｅは
$y=t^{2}-2t-2$
$y$$=(t^{2}-2t+1-1)-2$
$y$$=(t-1)^{2}-3$
と平方完成できるので、図Ｂのようなグラフになる。
![大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ｂ](_image/2B_1_1_02.svg)
図Ｂより、最小値は$t=1$のとき$-3$である。
解答ス：１, ソ：－, タ：３
最後に、$t=1$のときの$\theta$の値を求めなきゃいけない。
式Ｆより、$t=1$のとき
$2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=1$
$\displaystyle \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$式Ｉ
![大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ｃ](_image/2B_1_1_03.svg)
図Ｃより、$-\displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq\theta+\frac{\pi}{3}\leqq\frac{\pi}{3}$のとき、式Ｉを満たすのは
$\displaystyle \theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$
つまり
$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{6}$
のときである。
解答セ：６