大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説

ア～カ

関数の式を
y=cos⁡2θ+3sin⁡2θ−23cos⁡θ−2sin⁡θ式Ａ
とする。

t=sin⁡θ+3cos⁡θ式Ｂ
を見ると、三角関数の合成をしたくなるけど、次の行が
t2=
の形なので、まず両辺を２乗しよう。

t2=sin2⁡θ+23sin⁡θcos⁡θ+3cos2⁡θ
アイウエの式を見るとsin2⁡θがないので、sin2⁡θ=1−cos2⁡θを代入して消すと、
t2=1−cos2⁡θ+23sin⁡θcos⁡θ+3cos2⁡θ
t2=2cos2⁡θ+23sin⁡θcos⁡θ+1式Ｃ
となる。

解答ア：２, イ：２, ウ：３, エ：１

これから、式Ａ，式Ｂ，式Ｃを使って、yをtの式で表す。
式Ａの後半の
−23cos⁡θ−2sin⁡θ
の部分は
−2(sin⁡θ+3cos⁡θ)
と変形できる。この式の()内は、式Ｂよりtなので、
−23cos⁡θ−2sin⁡θ=−2t式Ｄ
と書ける。

式Ａの前半の
cos⁡2θ+3sin⁡2θ
の式部分には角度が2θの三角比があるので、
解法１
２倍角の公式から式Ｃを2θの三角比に変換する 解法２ ２倍角の公式から式Ａをθの三角比に変換する のどちらかの方法をとる。

それぞれの解法に入る前に、２倍角の公式の復習をしておこう。

公式

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ
cos⁡2θ=cos2⁡θ−sin2⁡θ
cos⁡2θ=2cos2⁡θ−1
cos⁡2θ=1−2sin2⁡θ
tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan2⁡θ

解法１

公式より、
2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ 2cos2⁡θ=cos⁡2θ+1

これを式Ｃに代入して、
t2=(cos⁡2θ+1)+3(sin⁡2θ)+1
t2=cos⁡2θ+3sin⁡2θ+2
cos⁡2θ+3sin⁡2θ=t2−2式Ｃ'

式Ｃ'と式Ｄを式Ａに代入して、
y=t2−2−2t
y=t2−2t−2式Ｅ
である。

解答オ：２, カ：２

解法２

ストーリーを簡単にするために、先に式Ａに式Ｄを代入しておこう。
y=cos⁡2θ+3sin⁡2θ−2t
２倍角の公式を代入して、
y=(cos2⁡θ−sin2⁡θ)+3(2sin⁡θcos⁡θ)−2t
y=(cos2⁡θ−sin2⁡θ)+23sin⁡θcos⁡θ−2t
この式に式Ｃを代入したい。

式Ｃにはsin2⁡θがないので、sin2⁡θ=1−cos2⁡θを代入して消すと、
y={cos2⁡θ−(1−cos2⁡θ)}+23sin⁡θcos⁡θ−2t
y=(2cos2⁡θ−1)+23sin⁡θcos⁡θ−2t
y=2cos2⁡θ+23sin⁡θcos⁡θ−2t−1式Ａ'

式Ｃを
t2=2cos2⁡θ+23sin⁡θcos⁡θ+1
2cos2⁡θ+23sin⁡θcos⁡θ=t2−1
と変形して、式Ａ'に代入すると、
y=(t2−1)−2t−1
y=t2−2t−2式Ｅ
である。

解答オ：２, カ：２

キ～セ

今度は式Ｂの合成だ。
t=sin⁡θ+3cos⁡θ
t=2sin⁡(θ+π3)式Ｆ
である。

解答キ：２, ク：３

問題文より
−π2≦θ≦0
なので、この各辺にπ3をたすと、
−π2+π3≦θ+π3≦π3
−π6≦θ+π3≦π3式Ｇ
である。

解答ケ：６

式Ｇの範囲は、図Ａの緑の範囲。

図Ａ
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ａ

θ+π3がこの範囲のとき、sin⁡(θ+π3)は赤い範囲になるので、
−12≦sin⁡(θ+π3)≦32
各辺を２倍して、
−1≦2sin⁡(θ+π3)≦3
この式の中辺は、式Ｆよりtなので、
−1≦t≦3式Ｈ
である。

解答コ：－, サ：１, シ：３

式Ｈの範囲で、式Ｅの二次関数の最小値を求めよう。
式Ｅは
y=t2−2t−2
y=(t2−2t+1−1)−2
y=(t−1)2−3
と平方完成できるので、図Ｂのようなグラフになる。

図Ｂ
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ｂ

図Ｂより、最小値はt=1のとき−3である。

解答ス：１, ソ：－, タ：３

最後に、t=1のときのθの値を求めなきゃいけない。

式Ｆより、t=1のとき
2sin⁡(θ+π3)=1
sin⁡(θ+π3)=12式Ｉ

図Ｃ
大学入試センター試験2011年本試 数学ⅡＢ第１問[1] 解説図Ｃ

図Ｃより、−π6≦θ+π3≦π3のとき、式Ｉを満たすのは
θ+π3=π6
つまり
θ=−π6
のときである。

解答セ：６