図Ａで、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OD}}& =\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\ & =\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ ここで、$\mathrm{ABCD}$は長方形なので、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AD}}& =\overrightarrow{\mathrm{BC}}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\ & =\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\end{array}$$ となるから、式Ａは
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OD}}& =\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\\ & =\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\end{array}$$ と表せる。

解答ア：ａ, イ：ｂ

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AL}}& =\overrightarrow{\mathrm{OL}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{OL}}-\overrightarrow{a}\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$ ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OL}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OL}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
となるから、式Ｂは
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AL}}& ={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-\overrightarrow{a}\\ & =({\displaystyle \frac{1}{3}}-1)\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}\\ & =-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ と表せる。

解答ウ：２, エ：３, オ：１, カ：１

$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$を、$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=s\overrightarrow{\mathrm{AL}}+t\overrightarrow{\mathrm{AM}}$と表す。
$\overrightarrow{\mathrm{AL}}$は式Ｃで求めてあるけど、$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$がまだだ。
なので、まず$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$から始めよう。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AM}}& =\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{a}\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}$
となるから、式Ｄは
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$式Ｅ
と表せる。

$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=s\overrightarrow{\mathrm{AL}}+t\overrightarrow{\mathrm{AM}}$
に式Ｃ，式Ｅを代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=s(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c})+t({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{AN}}}& =-{\displaystyle \frac{2}{3}}s\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{c}+{\displaystyle \frac{1}{2}}t\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}\\ & =-{\displaystyle \frac{2}{3}}s\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}t\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{c}\end{array}$$

$\begin{array}{rl}\phantom{\overrightarrow{\mathrm{AN}}}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}}s-t)\overrightarrow{a}+& (-{\displaystyle \frac{1}{3}}s+{\displaystyle \frac{1}{2}}t)\overrightarrow{b}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{c}\mathrm{式}Ｆ\end{array}$

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}$
これに式Ｆを代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{ON}}& =\overrightarrow{a}+(-{\displaystyle \frac{2}{3}}s-t)\overrightarrow{a}\\ & +(-{\displaystyle \frac{1}{3}}s+{\displaystyle \frac{1}{2}}t)\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{c}\\ & =(1-{\displaystyle \frac{2}{3}}s-t)\overrightarrow{a}+(-{\displaystyle \frac{1}{3}}s+{\displaystyle \frac{1}{2}}t)\overrightarrow{b}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{3}}s\overrightarrow{c}\mathrm{式}Ｇ\end{array}$$ となる。

解答キ：１, ク：２, ケ：３, コ：３, サ：２, シ：３

また、点Nは辺OC上にあるので、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{ON}}& =k\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\ & =k\overrightarrow{\mathrm{c}}\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ とかける。

式Ｇ$=$式Ｈより、
$\{\begin{array}{l}1-{\displaystyle \frac{2}{3}}s-t=0\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}s+{\displaystyle \frac{1}{2}}t=0\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}s=k\end{array}$
である。

この連立方程式を解くんだけど、スセにあたるのは$k$だから、$k$を求める方針で。

一番下の式を上の2つに代入して、まず$s$を消そう。
$\{\begin{array}{l}1-2k-t=0\\ -k+{\displaystyle \frac{1}{2}}t=0\end{array}$
下の式を２倍して上の式と加減法をすると、$t$も消える。

	$1-2k$	$-t=0$
$+)$	$-2k$	$+t=0$
	$1-4k$	$=0$

よって、
$k={\displaystyle \frac{1}{4}}$
である。

解答ス：１, セ：４

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$式Ｉ
問題文より、$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$である。
また、$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$は、$\mathrm{△}\mathrm{OAB}$に余弦定理を使って、
${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2-2\cdot \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$
$$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}& ={\displaystyle \frac{{\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\cdot \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+1-(2r{)}^2}{2\cdot 1\cdot 1}}\\ & ={\displaystyle \frac{2-4r^2}{2}}\\ & =1-2r^2\end{array}$$

これを式Ｉに代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}& =1\cdot 1\cdot (1-2r^2)\\ & =1-2r^2\end{array}$$ となる。

解答ソ：１, タ：２

$\mathrm{OB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CO}=1:2:\sqrt{3}$より、$\mathrm{△}\mathrm{OBC}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{BOC}={90}^{\circ }$の直角三角形。
よって、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$なので、
$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=0$
である。

解答チ：０

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{c}\right|\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}$式Ｊ

$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}$は、$\mathrm{△}\mathrm{OAC}$に余弦定理を使って、
${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OC}}^2-2\cdot \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}$
$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{{\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\cdot \mathrm{OA}\cdot \mathrm{OC}}}$式Ｋ

ここで、$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OC}=\sqrt{3}$である。
また、${\mathrm{AC}}^2$は、辺の長さが$2r$と$2$の長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線なので、三平方の定理より
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{AC}}^2& ={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2\\ & =(2r{)}^2+2^2\\ & =4r^2+4\end{array}$$

これを式Ｋに代入して、
$$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}& ={\displaystyle \frac{1+3-(4r^2+4)}{2\cdot 1\cdot \sqrt{3}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{4r^2}{2\sqrt{3}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{2r^2}{\sqrt{3}}}\end{array}$$

これと、$\left|\overrightarrow{a}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|=\sqrt{3}$を式Ｊに代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}& =1\cdot \sqrt{3}\cdot (-{\displaystyle \frac{2r^2}{\sqrt{3}}})\\ & =-2r^2\end{array}$$ である。

解答ツ：－, テ：２

$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}$ なので、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{MN}}& =\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}\end{array}$$ である。

また、式Ｅより、
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$
であるから、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}& =({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\end{array}$$ これにソタチツテを代入して、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}& ={\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot 0-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 1^2\\ & -{\displaystyle \frac{1}{4}}(-2r^2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2r^2)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-r^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\end{array}$$ となる。

$\mathrm{AM}\perp \mathrm{MN}$のとき、$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}=0$なので、
${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2=0$
$r^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$r=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
$0<r$なので、
$r={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
となる。

$\mathrm{AB}=2r$なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AB}& ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}\\ & =\sqrt{2}\end{array}$$ である。

解答ト：２