図Ａの△ABCに余弦定理を使って、
$x^2={\sqrt{7}}^2+(2\sqrt{7}{)}^2-2\cdot \sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}$
$x^2$$=35-28\cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}$
$\mathrm{\angle }\mathrm{B}=\theta$なので、
$x^2=35-28\cos \theta$式Ａ
となる。

解答ア：３, イ：５

同様に、△ACDに余弦定理を使って、
$x^2={\sqrt{3}}^2+(2\sqrt{3}{)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{D}$
$x^2$$=15-12\cos \mathrm{\angle }\mathrm{D}$式Ｂ
四角形ABCDは円に内接しているので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{D}={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }\mathrm{B}$
なので、
$\cos \mathrm{D}=\cos ({180}^{\circ }-\theta )$
$\cos \mathrm{D}$$=-\cos \theta$
であるから、式Ｂは
$x^2$$=15+12\cos \theta$式Ｂ'
となる。

解答ウ：１, エ：２

次は、外接円の半径だ。
△ABCに正弦定理を使って、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}}=2R}$式Ｃ
ここで、
$\mathrm{\angle }\mathrm{B}={60}^{\circ }$ $\mathrm{AC}=\sqrt{21}$ なので、式Ｃは
${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R}$
となる。これを解いて、
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2R=\sqrt{21}}$
$R=\sqrt{7}$
である。

解答ケ：７

このことから、辺BCは外接円Oの直径であることが分かる。

四角形ABCDの面積は、
四角形ABCD$=$△ABC$+$△ACD式Ｄ

△ABC$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}\cdot \sin {60}^{\circ }}$
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

△ACD$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{DA}\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{D}}$
△ACD$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sin {120}^{\circ }}$
△ACD$=3{\displaystyle \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

なので、式Ｄは
四角形ABCD$=7{\displaystyle \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$
四角形ABCD${\displaystyle }$${\displaystyle =10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$
四角形ABCD$$$=5\sqrt{3}$
となる。

解答コ：５, サ：３

接点と中心を結ぶ線と、接線のなす角は${90}^{\circ }$なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{OAE}={90}^{\circ }$
である。

解答シ：９, ス：０

円外の点Eから円に二本の接線を引いたとき、点から接点までの距離は等しいので、
$\mathrm{AE}=\mathrm{DE}$
点Eと円の中心を結ぶ線は、二本の接線のなす角を二等分するので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{AEF}=\mathrm{\angle }\mathrm{DEF}$
以上より、△EADは二等辺三角形で、EFは頂角の二等分線。
なので、EFは底辺ADの垂直二等分線である。
よって、
$\mathrm{\angle }\mathrm{AFE}={90}^{\circ }$
である。

解答セ：９, ソ：０

以上より、
△OAF∽△OEA
なので、
$\mathrm{OA}:\mathrm{OF}=\mathrm{OE}:\mathrm{OA}$
$\mathrm{OF}\cdot \mathrm{OE}={\mathrm{OA}}^2$
ここで、OAは円Oの半径なので、ケより$\sqrt{7}$だから、
$\mathrm{OF}\cdot \mathrm{OE}={\sqrt{7}}^2$
$\mathrm{OF}\cdot \mathrm{OE}$$=7$
である。

解答タ：７

$\mathrm{\angle }\mathrm{EFG}=\mathrm{\angle }\mathrm{EHG}={90}^{\circ }$
なので、F，HはEGを直径とする円上にある。

解答チ：２

方べきの定理より、
$\mathrm{OH}\cdot \mathrm{OG}=\mathrm{OF}\cdot \mathrm{OE}$
タより、$\mathrm{OF}\cdot \mathrm{OE}=7$なので、
$\mathrm{OH}\cdot \mathrm{OG}=7$
である。

解答ツ：７