$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3$は$x_1{x}_2$を$3:1$に内分する点の座標なので、
$$\begin{array}{rl}{x}_3& ={\displaystyle \frac{x_1+3x_2}{3+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1+3\cdot 2}{3+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{4}}\end{array}$$ である。

解答ア：７, イ：４

$\{y_n\}$は$\{x_n\}$の階差数列なので、
$$\begin{array}{rl}{y}_1& =x_2-x_1\\ & =2-1\\ & =1\end{array}$$ である。

解答ウ：１

ここで、漸化式の基本の復習をしておこう。

復習

漸化式の基本の形は４つあって、
$p_{n+1}=p_n+d$
公差$d$の等差数列 $p_{n+1}=r{p}_n$
公比$r$の等比数列 $p_{n+1}=p_n+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$ $p_{n+1}=\alpha p_n+\beta$
$p_{n+1}-\gamma =\alpha (p_n-\gamma )$の形にして解く だった。

問題文のエオカの式を見ると、$\{y_n\}$の漸化式は
$y_{n+1}=r{y}_n$
の形。
これは等比数列の漸化式なので、$\{y_n\}$は等比数列であることが分かる。

なので、$y_2$が分かれば、
$y_2=r{y}_1$
なので、
$r={\displaystyle \frac{y_2}{y_1}}$
から公比$r$が求められる。
なので、$y_2$だけ求めよう。

$$\begin{array}{rl}{y}_2& =x_3-x_2\\ & ={\displaystyle \frac{7}{4}}-2\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}r& ={\displaystyle \frac{y_2}{y_1}}\\ & ={\displaystyle \frac{-\frac{1}{4}}{1}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$ である。

解答エ：－, オ：１, カ：４

以上より、$\{y_n\}$は初項が$1$，公比$r$が$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$の等比数列なので、
$$\begin{array}{rl}{y}_n& =y_1\cdot r^{n-1}\\ & ={(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^{n-1}\end{array}$$ である。

解答キ：０

復習

階差数列$\{b_n\}$の一般項が分かっているとき、もとの数列$\{a_n\}$の一般項は、
${\displaystyle a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k(2\leqq n)}$
だった。

復習より、$2\leqq n$のとき、
$$\begin{array}{rl}{x}_n& =x_1+\sum _{k=1}^{n-1}{y}_k\\ & =1+\sum _{k=1}^{n-1}{(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^{k-1}\\ & =1+{\displaystyle \frac{1-{(-\frac{1}{4})}^{n-1}}{1-(-\frac{1}{4})}}\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{x_n}& =1+{\displaystyle \frac{1-{(-\frac{1}{4})}^{n-1}}{\frac{5}{4}}}\\ & =1+{\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot \{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^{n-1}\}\\ & =1+{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^{n-1}\end{array}$$

$\phantom{x_n}={\displaystyle \frac{9}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^{n-1}$
である。
これは$n=1$のときも成り立つ。

解答ク：９, ケ：５, コ：４, サ：０

$r=|-{\displaystyle \frac{1}{4}}|$
とすると、
$$\begin{array}{rl}|y_n|& =y_1\cdot r^{n-1}\\ & =1\cdot r^{n-1}\\ & =r^{n-1}\end{array}$$ と書ける。

アドバイス

ここからは（等差数列$\times$等比数列）の形の数列の和を求める、お決まりのパターンだ。
お約束の解き方なので、確実に憶えておこう。

${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^{n}k|y_k|}$
を分解して書くと、
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =1\cdot |y_1|+2\cdot |y_2|+\cdots \\ & +(n-1)\cdot |y_{n-1}|+n\cdot |y_n|\\ & =1\cdot r^0+2\cdot r^1+\cdots \\ & +(n-1)\cdot r^{n-2}+n\cdot r^{n-1}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ この両辺に$r$をかけると、
$\begin{array}{rl}r{S}_n=1& \cdot r^1+2\cdot r^2+\cdots \\ & +(n-1)\cdot r^{n-1}+n\cdot r^n\mathrm{式}Ｂ\end{array}$
である。

式Ａから式Ｂを引くと、

	$S_n$	$=$	$1\cdot r^0$	$+$	$2\cdot r^1$	$+$	$\cdots$	$+$	$n\cdot r^{n-1}$
$-)$	$r{S}_n$	$=$			$1\cdot r^1$	$+$	$\cdots$	$+$	$(n-1)\cdot r^{n-1}$	$+$	$n\cdot r^n$
$S_n-r{S}_n$		$=$	$1\cdot r^0$	$+$	$1\cdot r^1$	$+$	$\cdots$	$+$	$1\cdot r^{n-1}$	$-$	$n\cdot r^n$

となる。

$\begin{array}{rl}{S}_n-r{S}_n=& 1\cdot r^0+1\cdot r^1+\cdots +1\cdot r^{n-1}\\ & -n\cdot r^n\mathrm{式}Ｃ\end{array}$
の赤い部分は、初項$1$，公比$r$，項数$n$の等比数列の和だから、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{r}^{k-1}}$
と表せる。
よって、式Ｃは
${\displaystyle S_n-r{S}_n=\sum _{k=1}^n{r}^{k-1}-n\cdot r^n}$式Ｃ'
となる。

解答シ：１, ス：１

式Ｃ'を計算して、
$(1-r)S_n={\displaystyle \frac{1-r^n}{1-r}}-n\cdot r^n$
ここで、
$$\begin{array}{rl}r& =|-{\displaystyle \frac{1}{4}}|\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$ なので、
$(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})S_n={\displaystyle \frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{1-\frac{1}{4}}}-n\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n$

途中式

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3}{4}}{S}_n& ={\displaystyle \frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{\frac{3}{4}}}-n\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\}-n\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\}-{\displaystyle \frac{4}{3}}n\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\\ & ={\displaystyle \frac{16}{9}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\}-{\displaystyle \frac{n}{3}}\cdot 4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\\ & ={\displaystyle \frac{16}{9}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\}\\ & -{\displaystyle \frac{n}{3}}\cdot 4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n-1}\end{array}$$ より

$S_n={\displaystyle \frac{16}{9}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n\}-{\displaystyle \frac{n}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n-1}$
である。

解答セ：１, ソ：６, タ：９, チ：４, ツ：１, テ：３, ト：４, ナ：０