$x_{1}=1$，$x_{2}=2$，$x_{3}$は$x_{1}x_{2}$を$3:1$に内分する点の座標なので、
$x_{3}=\displaystyle \frac{x_{1}+3x_{2}}{3+1}$
$x_{3}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1+3\cdot 2}{3+1}$
$x_{3}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7}{4}$
である。

解答ア：７, イ：４

$\{y_{n}\}$は$\{x_{n}\}$の階差数列なので、
$y_{1}=x_{2}-x_{1}$
$y_{1}$$=2-1$
$y_{1}$$=1$
である。

解答ウ：１

ここで、漸化式の基本の復習をしておこう。

復習

漸化式の基本の形は４つあって、
$p_{n+1}=p_{n}+d$
公差$d$の等差数列 $p_{n+1}=rp_{n}$
公比$r$の等比数列 $p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$ $p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$p_{n+1}-\gamma=\alpha(p_{n}-\gamma)$の形にして解く だった。

問題文のエオカの式を見ると、$\{y_{n}\}$の漸化式は
$y_{n+1}=ry_{n}$
の形。
これは等比数列の漸化式なので、$\{y_{n}\}$は等比数列であることが分かる。

なので、$y_{2}$が分かれば、
$y_{2}=ry_{1}$
なので、
$r=\displaystyle \frac{y_{2}}{y_{1}}$
から公比$r$が求められる。
なので、$y_{2}$だけ求めよう。

$y_{2}=x_{3}-x_{2}$
$y_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7}{4}-2$
$y_{2}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{4}$

$r=\displaystyle \frac{y_{2}}{y_{1}}$
$r\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-\frac{1}{4}}{1}$
$r\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{4}$
である。

解答エ：－, オ：１, カ：４

以上より、$\{y_{n}\}$は初項が$1$，公比$r$が$-\displaystyle \frac{1}{4}$の等比数列なので、
$y_{n}=y_{1}\cdot r^{n-1}$
$y_{n}$$ \displaystyle =\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
である。

解答キ：０

復習

階差数列$\{b_{n}\}$の一般項が分かっているとき、もとの数列$\{a_{n}\}$の一般項は、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$
だった。

復習より、$2\leqq n$のとき、
$x_{n}=x_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}y_{k}$
$x_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1}$
$x_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1+\frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}$

途中式

$x_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1+\frac{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{\frac{5}{4}}$
$x_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1+\frac{4}{5}\cdot\left\{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}$
$x_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1+\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

$x_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{9}{5}-\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
である。
これは$n=1$のときも成り立つ。

解答ク：９, ケ：５, コ：４, サ：０

$r=\left|-\frac{1}{4}\right|$
とすると、
$|y_{n}|=y_{1}\cdot r^{n-1}$
$|y_{n}|$$=1\cdot r^{n-1}$
$|y_{n}|$$=r^{n-1}$
と書ける。

アドバイス

ここからは（等差数列$\times$等比数列）の形の数列の和を求める、お決まりのパターンだ。
お約束の解き方なので、確実に憶えておこう。

$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k|y_{k}|$
を分解して書くと、
$S_{n}=1\cdot|y_{1}|+2\cdot|y_{2}|+\cdots+(n-1)\cdot|y_{n-1}|+n\cdot|y_{n}|$
$S_{n}$$=1\cdot r^{0}+2\cdot r^{1}+\cdots+(n-1)\cdot r^{n-2}+n\cdot r^{n-1}$式Ａ
この両辺に$r$をかけると、
$rS_{n}=1\cdot r^{1}+2\cdot r^{2}+\cdots+(n-1)\cdot r^{n-1}+n\cdot r^{n}$式Ｂ
である。

式Ａから式Ｂを引くと、

	$S_{n}$	$=$	$1\cdot r^{0}$	$+$	$2\cdot r^{1}$	$+$	$\cdots$	$+$	$n\cdot r^{n-1}$
$-)$	$rS_{n}$	$=$			$1\cdot r^{1}$	$+$	$\cdots$	$+$	$(n-1)\cdot r^{n-1}$	$+$	$n\cdot r^{n}$
$S_{n}-rS_{n}$		$=$	$1\cdot r^{0}$	$+$	$1\cdot r^{1}$	$+$	$\cdots$	$+$	$1\cdot r^{n-1}$	$-$	$n\cdot r^{n}$

となる。

$S_{n}-rS_{n}=\textcolor{red}{1\cdot r^{0}+1\cdot r^{1}+\cdots+1\cdot r^{n-1}}-n\cdot r^{n}$
                                        式Ｃ
の赤い部分は、初項$1$，公比$r$，項数$n$の等比数列の和だから、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k-1}$
と表せる。
よって、式Ｃは
$S_{n}-rS_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{k-1}-n\cdot r^{n}$式Ｃ'
となる。

解答シ：１, ス：１

式Ｃ'を計算して、
$(1-r)S_{n}=\displaystyle \frac{1-r^{n}}{1-r}-n\cdot r^{n}$
ここで、
$r= \displaystyle \left|-\frac{1}{4}\right|$
$\phantom{r} \displaystyle =\frac{1}{4}$
なので、
$\displaystyle \left(1-\frac{1}{4}\right)S_{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{1-\frac{1}{4}}-n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$

途中式

$\displaystyle \frac{3}{4}S_{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{\frac{3}{4}}-n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
$\displaystyle \frac{3}{4}S_{n}$$\displaystyle =\frac{4}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
$S_{n}=\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^{2}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\frac{4}{3}n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
$S_{n}$$=\displaystyle \frac{16}{9}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\frac{n}{3}\cdot 4\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
$S_{n}$$=\displaystyle \frac{16}{9}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\frac{n}{3}\cdot 4\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

$S_{n}=\displaystyle \frac{16}{9}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\frac{n}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
である。

解答セ：１, ソ：６, タ：９, チ：４, ツ：１, テ：３, ト：４, ナ：０