①式を変形して、
$12\displaystyle \left(\log_{2}x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}-7\cdot\frac{\log_{2}x}{\log_{2}4}-10 \gt 0$
$12\displaystyle \left(\frac{1}{2}\log_{2}x\right)^{2}-7\cdot\frac{\log_{2}x}{2}-10 \gt 0$
$12\displaystyle \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\log_{2}x\right)^{2}-\frac{7}{2}\cdot\log_{2}x-10 \gt 0$
$3\displaystyle \left(\log_{2}x\right)^{2}-\frac{7}{2}\cdot\log_{2}x-10 \gt 0$
両辺を２倍して分母を払おう。
$6\left(\log_{2}x\right)^{2}-7\log_{2}x-20 \gt 0$
これに$X=\log_{2}x$を代入して、
$6X^{2}-7X-20 \gt 0$式Ａ
である。

解答チ：７, ツ：２, テ：０

式Ａを因数分解して、
$(3X+4)(2X-5) \gt 0$
$X \lt -\displaystyle \frac{4}{3}$，$\displaystyle \frac{5}{2} \lt X$式Ｂ
となる。

解答ト：４, ナ：３, ニ：５, ヌ：２

式Ｂの$X$をもとに戻して、
$\displaystyle \log_{2}x \lt -\frac{4}{3}$，$\displaystyle \frac{5}{2} \lt \log_{2}x$
このそれぞれを計算する。
$\displaystyle \log_{2}x \lt -\frac{4}{3}\cdot\log_{2}2$
$\log_{2}x \lt \log_{2}2^{-\frac{4}{3}}$
底が$1$より大きいので、
$x \lt 2^{-\frac{4}{3}}$
$x \lt \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}^{4}}$式Ｂ1
ここで、
$\sqrt[3]{1}^{4} \lt \sqrt[3]{2}^{4}$
なので、
$1 \lt \sqrt[3]{2}^{4}$
より
$0 \lt \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}^{4}} \lt 1$
である。
$\displaystyle \frac{5}{2}\cdot\log_{2}2 \lt \log_{2}x$
$\log_{2}2^{\frac{5}{2}} \lt \log_{2}x$
底が$1$より大きいので、
$2^{\frac{5}{2}} \lt x$
$\sqrt{2}^{5} \lt x$
$4\sqrt{2} \lt x$式Ｂ2
ここで、
$\sqrt{2}\doteqdot 1.4$
なので、
$4\sqrt{2}\doteqdot 5.6$
だから、
$5 \lt 4\sqrt{2} \lt 6$
である。
それから、この問題の答には影響がないけれど、真数条件より
$0 \lt x$式Ｃ
である。

となるので、条件①を満たす最小の自然数は６である。

解答ネ：６

②式を変形すると
$x\log_{3}3+\log_{3}x \lt 14\log_{3}3$
$\log_{3}3^{x}+\log_{3}x \lt \log_{3}3^{14}$
$\log_{3}(3^{x}\cdot x) \lt \log_{3}3^{14}$
$3^{x}\cdot x \lt 3^{14}$
$x \lt 3^{14-x}$式Ｄ
となる。
変な式ができたけど、気にせずにゆこう。

$x$は自然数なので、式Ｄの左辺は１以上。
なので、右辺の$x$は$13$以下。
また、問題文のマスから、答は２ケタと分かっているので、
$x=10$，$11$，$12$，$13$
の４つだけ考えればよい。

で、$11$あたりから始めよう。
$x=11$を式Ｄに代入すると、
$11 \lt 3^{14-11}$
は成り立つ。

次は、$12$。
$x=12$を式Ｄに代入すると、
$12 \lt 3^{14-12}$
は成り立たない。

よって、②を満たす最大の自然数は$11$である。

解答ノ：１, ハ：１

以上より、①および②の条件を満たす自然数$x$は、
$6\leqq x\leqq 11$
である。