①式を変形して、
$12{\displaystyle {({\log }_2{x}^{\frac{1}{2}})}^2-7\cdot \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}-10>0}$
$12{\displaystyle {(\frac{1}{2}{\log }_{2}x)}^2-7\cdot \frac{{\log }_{2}x}{2}-10>0}$
$12{\displaystyle \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2{({\log }_{2}x)}^2-\frac{7}{2}\cdot {\log }_{2}x-10>0}$
$3{\displaystyle {({\log }_{2}x)}^2-\frac{7}{2}\cdot {\log }_{2}x-10>0}$
両辺を２倍して分母を払おう。
$6{({\log }_{2}x)}^2-7{\log }_{2}x-20>0$
これに$X={\log }_{2}x$を代入して、
$6X^2-7X-20>0$式Ａ
である。

解答チ：７, ツ：２, テ：０

式Ａを因数分解して、
$(3X+4)(2X-5)>0$
$X<-{\displaystyle \frac{4}{3}}$，${\displaystyle \frac{5}{2}<X}$式Ｂ
となる。

解答ト：４, ナ：３, ニ：５, ヌ：２

式Ｂの$X$をもとに戻して、
${\displaystyle {\log }_{2}x<-\frac{4}{3}}$，${\displaystyle \frac{5}{2}<{\log }_{2}x}$
このそれぞれを計算する。
${\displaystyle {\log }_{2}x<-\frac{4}{3}\cdot {\log }_{2}2}$
${\log }_{2}x<{\log }_2{2}^{-\frac{4}{3}}$
底が$1$より大きいので、
$x<2^{-\frac{4}{3}}$
$x<{\displaystyle \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}^4}}$式Ｂ1
ここで、
${\sqrt[3]{1}}^4<{\sqrt[3]{2}}^4$
なので、
$1<{\sqrt[3]{2}}^4$
より
$0<{\displaystyle \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}^4}<1}$
である。
${\displaystyle \frac{5}{2}\cdot {\log }_{2}2<{\log }_{2}x}$
${\log }_2{2}^{\frac{5}{2}}<{\log }_{2}x$
底が$1$より大きいので、
$2^{\frac{5}{2}}<x$
${\sqrt{2}}^5<x$
$4\sqrt{2}<x$式Ｂ2
ここで、
$\sqrt{2}\doteqdot 1.4$
なので、
$4\sqrt{2}\doteqdot 5.6$
だから、
$5<4\sqrt{2}<6$
である。
それから、この問題の答には影響がないけれど、真数条件より
$0<x$式Ｃ
である。

となるので、条件①を満たす最小の自然数は６である。

解答ネ：６

②式を変形すると
$x{\log }_{3}3+{\log }_{3}x<14{\log }_{3}3$
${\log }_3{3}^x+{\log }_{3}x<{\log }_3{3}^{14}$
${\log }_3(3^x\cdot x)<{\log }_3{3}^{14}$
$3^x\cdot x<3^{14}$
$x<3^{14-x}$式Ｄ
となる。
変な式ができたけど、気にせずにゆこう。

$x$は自然数なので、式Ｄの左辺は１以上。
なので、右辺の$x$は$13$以下。
また、問題文のマスから、答は２ケタと分かっているので、
$x=10$，$11$，$12$，$13$
の４つだけ考えればよい。

で、$11$あたりから始めよう。
$x=11$を式Ｄに代入すると、
$11<3^{14-11}$
は成り立つ。

次は、$12$。
$x=12$を式Ｄに代入すると、
$12<3^{14-12}$
は成り立たない。

よって、②を満たす最大の自然数は$11$である。

解答ノ：１, ハ：１

以上より、①および②の条件を満たす自然数$x$は、
$6\leqq x\leqq 11$
である。