$C$の式を微分して、
$y^{\prime }=2x$
これに点Pの$x$座標を代入して、
$2a$
が、接線$\ell$の傾き。
傾き$2a$の直線が点P$(a,a^2)$を通るので、$\ell$の式は、
$y-a^2=2a(x-a)$
$$\begin{array}{rl}y& =2ax-2a^2+a^2\\ & =2ax-a^2\end{array}$$ である。

解答ア：２, イ：ａ, ウ：２

接線$\ell$と$x$軸の交点なので、$\ell$の式の$y$に$0$を代入して、
$2ax-a^2=0$
$a(2x-a)=0$
$a\ne 0$なので、
$x={\displaystyle \frac{a}{2}}$
である。
なので、交点Qの座標は
$({\displaystyle \frac{a}{2}},0)$
となる。

解答エ：ａ, オ：２, カ：０

図の固定

$S$は、図Ａの赤い部分。
$C$の式が簡単なのでそのまま積分してもいいんだけど、積分の計算は別解を見てもらうとして、せっかくだから${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式を使う練習をしよう。
$S=(\text{赤}+\text{青})-\text{青}$
と考える。

赤$+$青でできる三角形の面積を$S_1$とすると、
$\text{三角形の面積}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \text{底辺}\times \text{高さ}$ より、
$$\begin{array}{rl}{S}_1& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{2}}\cdot a^2\\ & ={\displaystyle \frac{a^3}{4}}\end{array}$$

青の面積を$S_2$とする。
直線OPの式を$y=bx$とすると、
$$\begin{array}{rl}{S}_2& ={\int }_0^a(bx-x^2)dx\\ & =-{\int }_0^a(x^2-bx)dx\end{array}$$

これに${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式を使って、
$$\begin{array}{rl}{S}_2& =-(-{\displaystyle \frac{1}{6}}{a}^3)\\ & ={\displaystyle \frac{a^3}{6}}\end{array}$$

$S=S_1-S_2$なので、
$$\begin{array}{rl}S& ={\displaystyle \frac{a^3}{4}}-{\displaystyle \frac{a^3}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{3a^3}{12}}-{\displaystyle \frac{2a^3}{12}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^3}{12}}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ となる。

解答キ：３, ク：１, ケ：２

次は$T$だ。
$S$を求めたときのように計算してもいいんだけど、$T$は積分範囲がひとつにまとまっているので、普通に積分した方が計算が楽。
$T={[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-a{x}^2+a^{2}x]}_a^2$

解答コ：３, サ：２, シ：４, ス：８, セ：３

式Ａ，式Ｂより、
$$\begin{array}{rl}U& =S+T\\ & ={\displaystyle \frac{a^3}{12}}-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}+2a^2-4a+{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ & =-{\displaystyle \frac{a^3}{4}}+2a^2-4a+{\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ である。

$0\leqq a\leqq 2$における$U$の最大・最小を求めるので、式Ｃを微分して増減表を書こう。
$U^{\prime }=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2+4a-4$
$U^{\prime }=0$のとき、
$-{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2+4a-4=0$
$3a^2-16a+16=0$
$(3a-4)(a-4)=0$
より、$a={\displaystyle \frac{4}{3}}$，$4$
このうち、$4$は定義域に入らない。

また、 $a=0$のとき、
$U={\displaystyle \frac{8}{3}}$

$a=2$のとき、
$$\begin{array}{rl}U& =-{\displaystyle \frac{2^3}{4}}+2\cdot 2^2-4\cdot 2+{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ & =-2+{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

増減表より、$U$は、
$a=0$のとき 最大値${\displaystyle \frac{8}{3}}$
$a={\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき 最小値${\displaystyle \frac{8}{27}}$
をとる。

解答ソ：０, タ：８, チ：３, ツ：４, テ：３, ト：８, ナ：２, ニ：７