ここで、反復試行の確立の復習をしておこう。

復習

確率$p$で起こる事象が、$n$回の試行で$m$回起こる確率は、
$p^m(1-p{)}^{n-m}\cdot {}_n{\mathrm{C}}_m$
だった。

復習より、４以下の目が８回中３回出る確率は
$p^3(1-p{)}^{8-3}\cdot {}_8{\mathrm{C}}_3$
である。
ここで、$1-p=q$なので、
$$\begin{array}{rl}{}_8{\mathrm{C}}_3{p}^3{q}^5& ={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}{p}^3{q}^5\mathrm{式}Ａ\\ & =8\cdot 7p^3{q}^5\\ & =56p^3{q}^5\end{array}$$ となる。

解答オ：５, カ：６

１回目に４以下の目が出る確率は
$p$式Ｂ

次の７回で４以下の目が２回出る確率は、復習より
$$\begin{array}{rl}{p}^2{q}^{7-2}\cdot {}_7{\mathrm{C}}_2& ={\displaystyle \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}}{p}^2{q}^5\\ & =7\cdot 3p^2{q}^5\\ & =21p^2{q}^5\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$

なので、１回目に４以下の目が出、続く７回で４以下の目が２回出る確率は、式Ｂ$\times$式Ｃより、
$p\times 21p^2{q}^5=21p^3{q}^5$
である。

解答キ：２, ク：１

オカより、４以下の目が８回中３回出る確率は
$56p^3{q}^5$
キクより、４以下の目が８回中３回出、１回目は４以下の確率は
$21p^3{q}^5$
よって、４以下の目が８回中３回出、１回目は５以上の確率は
$56p^3{q}^5-21p^3{q}^5=35p^3{q}^5$
である。

解答ケ：３, コ：５

別解

余事象を使わずに、確率を直接求めると次のようになる。

１回目に５以上の目が出る確率は
$q$式Ｄ

次の７回で４以下の目が３回出る確率は、復習より
$$\begin{array}{rl}{p}^3{q}^{7-3}\cdot {}_7{\mathrm{C}}_3& ={\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}{p}^3{q}^4\\ & =7\cdot 5p^3{q}^4\\ & =35p^3{q}^4\mathrm{式}Ｅ\end{array}$$

なので、１回目に４以下の目が出、続く７回で４以下の目が２回出る確率は、式Ｄ$\times$式Ｅより、
$q\times 35p^3{q}^4=35p^3{q}^5$
である。

解答ケ：３, コ：５

式Ａより、オカは
${}_8{\mathrm{C}}_3={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}=8\cdot 7$
これと同じものを探す。
${}_n{\mathrm{C}}_m={}_n{\mathrm{C}}_{n-m}$なので、
⓪$=$④，①$=$⑤，②$=$⑥，③$=$⑦
となるから、⓪～③だけ考えよう。

⓪は、
${\displaystyle \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}}\cdot {\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}=7\cdot 3\cdot 7\cdot 5$
なので、不適。

①は、
${\displaystyle \frac{8}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}}=8\cdot 4\cdot 7$
なので、不適。

②は、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}}+{\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}& =7\cdot 3+7\cdot 5\\ & =7(3+5)\\ & =7\cdot 8\end{array}$$ なので、これが答だ。

すでに答は見つかっているけど、念のために③も計算しておく。
③は、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{8}{1}}+{\displaystyle \frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}}& =8+4\cdot 7\\ & =4(2+7)\\ & =4\cdot 9\end{array}$$ なので、不適。

解答サ：２, シ：６（順不同）

得点が６点になるのは、６回目に初めて４以下の目が出て、４以下の目は３回出るとき。
さいころは８回投げるので、このとき、目の出方は
５以上，５以上，５以上，５以上，５以上，４以下，この後４以下が２回
の順。
よって、確率は
$q^{5}p\times p^2\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2=p^3{q}^5$
である。

解答ス：３, セ：５

得点が３点になるのは、３回目に初めて４以下の目が出て、４以下の目は３回出るとき。
このとき、目の出方は
５以上，５以上，４以下，この後４以下が２回・５以上が３回
の順。
よって、確率は
$$\begin{array}{rl}{q}^2\times p\times p^2{q}^3\cdot {}_5{\mathrm{C}}_2& ={\displaystyle \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}{p}^3{q}^5\\ & =10p^3{q}^5\end{array}$$ である。

解答ソ：１, タ：０

得点が１点となる確率は、キクより
${}_7{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^5=21p^3{q}^5$ 得点が３点となる確率は、ソタより
${}_5{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^5=10p^3{q}^5$ 得点が６点となる確率は、スセより
${}_2{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^5=p^3{q}^5$ なので、
得点が２点となる確率は、
${}_6{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^5=15p^3{q}^5$ 得点が４点となる確率は、
${}_4{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^5=6p^3{q}^5$ 得点が５点となる確率は、
${}_3{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^5=3p^3{q}^5$ であると考えられる。

また、オカより、得点が０点でない確率は、
$56p^3{q}^5$
である。

以上から確率分布表を書くと、表Ａができる。

表Ａ

得点	1	2	3	4	5	6	計
確率	$21p^3{q}^5$	$15p^3{q}^5$	$10p^3{q}^5$	$6p^3{q}^5$	$3p^3{q}^5$	$p^3{q}^5$	$56p^3{q}^5$

確率分布表より、得点の期待値は
$\begin{array}{rl}1\times & 21p^3{q}^5+2\times 15p^3{q}^5+3\times 10p^3{q}^5\\ & +4\times 6p^3{q}^5+5\times 3p^3{q}^5+6\times p^3{q}^5\end{array}$

途中式

$$\begin{array}{rl}& =\left(\begin{array}{rl}1\times & 21+2\times 15+3\times 10\\ & +4\times 6+5\times 3+6\times 1\end{array}\right)p^3{q}^5\\ & =3(7+2\times 5+10+4\times 2+5+2)p^3{q}^5\end{array}$$

$=3\cdot 42p^3{q}^5$式Ｆ
とかける。

ここで、アイウエより
$p={\displaystyle \frac{2}{3}}$ $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$ なので、式Ｆは
$3\cdot 42\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5={\displaystyle \frac{3\cdot 42\cdot 2^3}{3^8}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{3\cdot 42\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5}& ={\displaystyle \frac{3\cdot 3\cdot 14\cdot 2^3}{3^8}}\\ & ={\displaystyle \frac{14\cdot 2^3}{3^6}}\end{array}$$

$\phantom{3\cdot 42\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5}={\displaystyle \frac{112}{729}}$
となる。

解答チ：１, ツ：１, テ：２, ト：７, ナ：２, ニ：９