大学入試センター試験 2011年(平成23年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [2] 解説

(1)

q⇒pの反例なので、qに当てはまってpに当てはまらないものを選べばよい。
⓪は、pにもqにも当てはまるのでダメ。 ①も、pにもqにも当てはまるのでダメ。 ②は、pにもqにも当てはまらないのでダメ。 ③は、qには当てはまるがpには当てはまらないので、これが答えだ。

解答チ：３

(2)

p⇒qの対偶はq―⇒p―だけど、

q―は
|a+b|<1 ∪ |a−2b|<2―
ド・モルガンの法則より、
|a+b|<1―∩ |a−2b|<2―
|a+b|≧1∩ |a−2b|≧2
なので、④

解答ツ：４

p―は
(a+b)2+(a−2b)2<5―
(a+b)2+(a−2b)2≧5
なので、⑦

解答テ：７

である。

(3)

(1)より、p⇐qは×。

(2)より、p⇒qの対偶は
|a+b|≧1∩ |a−2b|≧2⇒ (a+b)2+(a−2b)2≧5 なので、○。
もとの命題と対偶の真偽は一致するので、
p⇒qも○。

以上より、
p⇒q ○
p⇐q ×
となるから、十分条件である。

解答ト：２

アドバイス

必要条件・十分条件の問題は、集合の大小で考える方がおすすめ。文字がa，bの２種類あるときは、それぞれx，yと考えて領域をつくり、その大小で考えるのがおすすめ。
だけど、この問題では、数Ⅲを使わないと領域のグラフが描けない。

そのため、ここでは、一般的な
p⇒q ○
p⇐q ×
なので、十分条件
っていう解き方をした。

問題文がていねいに誘導してくれているので、流れに乗って解こう。