最初は普通に計算しよう。

ア～オより、
$$ \begin{align} \frac{a}{b}-\frac{b}{a}&=a\cdot\frac{1}{b}-b\cdot\frac{1}{a}\\ &=(3+2\sqrt{2})(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})(3-2\sqrt{2})\\ &=(6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\ &\hspace{40px}\textcolor{red}{-}(6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6}) \class{tex_formula}{式Ａ}\\ &=8\sqrt{2}-6\sqrt{3}\\ \end{align} $$ となる。

解答カ：８, キ：２, ク：６, ケ：３

$|2abx-a^{2}| \lt b^{2}$
より、
$-b^{2} \lt 2abx-a^{2} \lt b^{2}$
各辺に$a^{2}$をたして、
$a^{2}-b^{2} \lt 2abx \lt a^{2}+b^{2}$

$0 \lt a$，$0 \lt b$なので、各辺を$2ab$で割っても不等号の向きは変わらないので、
$$ \begin{align} \frac{a^{2}-b^{2}}{2ab} &\lt x \lt \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}\\ \frac{1}{2}\left(\frac{a^{2}}{ab}-\frac{b^{2}}{ab}\right) &\lt x \lt \frac{1}{2}\left(\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right) &\lt x \lt \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$

式Ｂの左辺の()内は、カ～ケより
$\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=8\sqrt{2}-6\sqrt{3}$

式Ｂの右辺の()内は、式Ａの赤い$-$が$+$になったものなので、
$$ \begin{align} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}&=(6+4\sqrt{2}-3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\ &\hspace{40px}\textcolor{red}{+}(6-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\ &=12-4\sqrt{6} \end{align} $$

よって、式Ｂは、
$$ \begin{align} \frac{1}{2}(8\sqrt{2}-6\sqrt{3}) &\lt x \lt \frac{1}{2}(12-4\sqrt{6})\\ 4\sqrt{2}-3\sqrt{3} &\lt x \lt 6-2\sqrt{6} \end{align} $$ となる。

解答コ：４, サ：２, シ：３, ス：３, セ：６, ソ：２, タ：６