188
データの代表値

$19.0$を仮平均とすると、
${\displaystyle \frac{1}{10}(-1-2-1.5+1+0.5+0-1+0.5+1.5+2)}$
$=0$
よって、平均値は
$19.00$
である。

解答ア：１, イ：９, ウ：０, エ：０

次はガソリン消費量の分散$s_y^2$だ。

復習

分散$s^2$は、
データの大きさを$n$
それぞれのデータを$x_1,x_2,x_3,\dots x_n$
平均値を$\bar{x}$
としたとき、
$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+(x_3-\bar{x}{)}^2+}$
                       $\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\}$式Ａ
$s^2$$=\overline{x^2}-{\left(\bar{x}\right)}^2$式Ｂ
だった。

193
分散と標準偏差

今回は定義通り計算する方が楽そうなので、式Ａを使おう。
問題文中の表の値を式Ａに代入すると、
$s_y^2={\displaystyle \frac{1}{10}\{(-0.1{)}^2+(-0.2{)}^2+\cdots +0^2\}}$

これは
$s_y^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{10}\{{(-\frac{1}{10})}^2+{(-\frac{2}{10})}^2+\cdots +{\left(\frac{0}{10}\right)}^2\}}$
とかけるから、${\left(\frac{1}{10}\right)}^2$を共通因数として$\{\}$の前に出して、
$s_y^2$$={\left(\frac{1}{10}\right)}^3\{(-1{)}^2+(-2{)}^2+\cdots +0^2\}$
$s_y^2$$=0.036$
である。

解答オ：０, カ：０, キ：３, ク：６

復習

中央値は、データを小さい順（大きい順でもいいけど）に並べたとき、
データが奇数個のときには、ちょうど真ん中にある数 データが偶数個のときには、中央２つの数の平均 だった。

ガソリン消費量のデータを小さい順に並べると、
$1.0,1.1,1.2,1.2,1.3,1.3,1.3,1.4,1.5,1.7$
データが偶数個なので、ガソリン消費量の中央値は５番目と６番目の数の平均だけど、両方とも$1.30$なので、
$1.30$

解答ケ：１, コ：３, サ：０

まず、４つの相関図で、違っているところを見つよう。

図Ｂ

199
相関関係

図Ｂで、４つの相関図で共通する点は黒で、異なる点は赤で示した。だから、赤い点だけ確認しよう。

まず、０・２にあって１・３にない$(x,y)=(18,1.0)$の点（青い矢印の点）だけど、問題文中の表を見ると４月27日のデータとして存在する。なので、１・３は除外。
次に、$x=19$の点（緑の矢印の点）は、０では$y=1.2$、２では$y=1.5$となっている。問題文中の表を見ると、$x=19$であるのは４月26日のデータで、$y=1.5$となっている。なので、０は除外。
以上より、当てはまるものは２である。

解答シ：２

次に、走行距離とガソリン消費量の相関係数を求める。

復習

相関係数
まず、共分散を$s_{xy}$とすると、
$s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})}$＋
                 $\cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\}$式Ｃ
$s_{xy}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k\cdot y_k-\bar{x}\cdot \bar{y}}$式Ｄ
この共分散$s_{xy}$を、$x,y$それぞれの標準偏差の積で割った、
$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}}$
が相関係数だった。

199
相関係数

ということで、共分散を求める。
今回は式Ｄよりも式Ｃの方が計算が楽そうだ。
なので、まず走行距離の偏差（$x_n-\bar{x}$）と消費量の偏差（$y_n-\bar{y}$）の積を計算して、問題文中の表に書きたしたものが表Ｃである。

表Ｃ

日付	走行距離 (km)		消費量 (リットル)		偏差の積
	値 $x_n$	偏差 $x_n-\bar{x}$	値 $y_n$	偏差 $y_n-\bar{y}$	$(x_n-\bar{x})$ $\cdot (y_n-\bar{y})$
4月21日	18.0	-1.0	1.2	-0.1	0.10
4月22日	17.0	-2.0	1.1	-0.2	0.40
4月23日	17.5	-1.5	1.4	0.1	-0.15
4月24日	20.0	1.0	1.3	0.0	0
4月25日	19.5	0.5	1.2	-0.1	-0.05
4月26日	19.0	0.0	1.5	0.2	0
4月27日	18.0	-1.0	1.0	-0.3	0.30
4月28日	19.5	0.5	1.3	0.0	0
4月29日	20.5	1.5	1.7	0.4	0.60
4月30日	21.0	2.0	1.3	0.0	0
平均値	19.00		1.30		0.12
分散	1.60		0.036

式Ｃより、偏差の積の平均が相関係数$s_{xy}$なので、
$s_{xy}=0.12$
これを$x,y$の標準偏差で割れば、相関係数である。

復習

標準偏差$s$は、分散を$s^2$とすると、
$s=\sqrt{s^2}$
だった。

$x,y$の分散は、それぞれ$1.60,0.036$であるから、相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}}$
$r_{xy}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{0.12}{\sqrt{1.60}\cdot \sqrt{0.036}}}$
$r_{xy}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{12}{24}}$
$r_{xy}$$=0.5$

解答ス：０, セ：５, ソ：０, タ：０

図Ｂに５月のデータを書き加えた。図Ｄ中、赤い点が５月のデータである。

図Ｄより、点は左下から右上に連なる傾向が見える。
よって、走行距離と消費量は正の相関が考えられるから、$0<r<1$

解答チ：４

16日間の走行距離の平均値$M$は、
(16日間の走行距離の合計)$÷16$
ここで、
４月の10日間の合計$=$４月の平均$\times 10$
５月の６日間の合計$=$５月の平均$\times 6$
なので、
$M={\displaystyle \frac{19.00\times 10+23.00\times 6}{16}}$
$M$$=20.50$

解答ツ：２, テ：０, ト：５, ナ：０

問題文中の
$T=(x_1-M{)}^2+(x_2-M{)}^2+\cdots +(x_{10}-M{)}^2$
に、
$(x_k-M{)}^2=(x_k-m{)}^2$
                 $+2(x_k-m)(m-M)$
                   $+(m-M{)}^2$
を代入すると、
$T=(x_1-m{)}^2+(x_2-m{)}^2+\cdots +(x_{10}-m{)}^2$
       $+2(m-M)\{(x_1-m)+(x_2-m)+$
                   $\cdots +(x_n-m)\}$
         $+10(m-M{)}^2$式Ｅ
ここで、分散の定義を思いだすと、式Ｃより、
$(x_1-m{)}^2+(x_2-m{)}^2+\cdots +(x_{10}-m{)}^2=10s^2$
また、偏差の和は$0$なので、
$(x_1-m)+(x_2-m)+\cdots +(x_n-m)=0$
よって、式Ｅは、
$T=10s^2+10(m-M{)}^2$
となる。

解答ニ：０

これに
$M=20.50$ $m=19.00$ $s^2=1.60$ を代入すると、
$T=10\cdot 1.6+10(19-20.5{)}^2$
$T$$=38.50$
となる。

解答ヌ：３, ネ：８, ノ：５, ハ：０

$T$の意味を考えると、
$(x_k-M{)}^2$は走行距離の偏差の２乗なので、
４月の10日間の走行距離の偏差の2乗の合計である。
分散とは偏差の2乗の平均なので、$T$に５月の６日間の偏差の２乗をたして、16で割れば、16日間の分散だ。

５月の６日間の偏差の２乗の和$T_6$は、$T$と同様計算しよう。

６日間の分散を$s_6^2$、平均値を$m_6$とすると、
$T_6=6s_6^2+6(m_6-M{)}^2$

これに
$M=20.50$ $m_6=23.00$ $s_6^2=6.00$ を代入すると、
$T_6=6\times 6+6(23-20.5{)}^2$
$T_6$$=73.5$

以上より、16日間の分散$s_{16}^2$は、
$s_{16}^2={\displaystyle \frac{38.5+73.5}{16}}$
$s_{16}^2$$=7$

解答ヒ：７, フ：０, ヘ：０

アドバイス

16日間の分散の計算には、16日間の平均値を使う。
問題文中の２つの表に載っている分散は、それぞれ４月の10日間の平均値・５月の６日間の平均値を使って求めた分散なので、そのままでは使えない。だから、$T$のような式を作って変換した。