①に$n=1,a_1=4$を代入して、
$a_2={\displaystyle \frac{1}{4}(1+1)\cdot 4+3+3}$
$a_2$$=8$

解答ア：８

①に$n=2,a_2=8$を代入して、
$a_3={\displaystyle \frac{1}{4}(1+\frac{1}{2})\cdot 8+3\cdot 2+3}$
$a_3{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2}\cdot 8+3\cdot 2+3}$
$a_3$$=3+3\cdot 2+3$
$a_3$$=12$

解答イ：１, ウ：２

①に$n=3,a_2=12$を代入して、
$a_4={\displaystyle \frac{1}{4}(1+\frac{1}{3})\cdot 12+3\cdot 3+3}$
$a_4{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}\cdot 12+3\cdot 3+3}$
$a_4$$=4+3\cdot 3+3$
$a_4$$=16$

解答エ：１, オ：６

より、$\{a_n\}=\{4,8,12,16,\dots \}$
となるので、
$a_n=4n$②
と推定できる。

解答カ：１

キ・クは、真面目に帰納法を考えていると時間もかかるし、この部分だけ作ろう。

この問題にあてはめると、
$a_n=4n$がすべての自然数について成り立つことを、 $a_n=4n$が$n=1$のときに成り立つ $a_n=4n$が$k$のときに成り立つと仮定すると、$n=k+1$のときにも成り立つ によって証明するはずだ。

キは「$a_n=4n$が$n=k+1$のときにも成り立つ」ことを示す部分なので、$a_n=4n$に$n=k+1$を代入して、
$a_{n+1}=4(k+1)=4k+4$

解答キ：３

クは「$n=k+1$のときにも成り立つ」の文章だから、

解答ク：０

以上より、$a_n=4n$である。
この数列の初項から第$n$項までの和$S_n$は、
等差数列の和の公式から、
$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}n(a_1+a_n)}$
としてもよいし、
Σを使って
$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}4k}$
としてもよい。
どちらの方法をとっても手間はほとんど変わらず、
$S_n=2n^2+2n$③
となる。

解答ケ：２, コ：２

④と①を辺々引いて、
$-){\displaystyle }$$b_{n+1}=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})b_n+3n+3$
$\underset{―}{-)a_{n+1}=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})a_n+3n+3}$
$b_{n+1}-a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})(b_n-a_n)}$式Ａ

ここで、
$c_n={\displaystyle \frac{b_n-a_n}{n}}$⑤
とおくので、
$\{\begin{array}{l}{b}_n-a_n=n{c}_n\\ b_{n+1}-a_{n+1}=(n+1)c_{n+1}\end{array}$

これを式Ａに代入して、
$(n+1)c_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})n{c}_n}$
$(n+1)c_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot \frac{n+1}{n}\cdot n{c}_n}$
$c_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}{c}_n}$
となるので、$\{c_n\}$は、
初項$b_1-a_1=7-4=3$
公比${\displaystyle \frac{1}{4}}$
の等比数列である。

解答サ：３, シ：１, ス：４

一般項は、
$c_n=3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$
$c_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{4^{n-1}}}$式Ｂ
となる。

解答セ：３, ソ：４, タ：１

以上から$b_n$を求めると、問題文のマスから
$b_n=4n+{\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}}$
となる。

ちゃんと計算すると、
⑤に②・式Ｂを代入して、
${\displaystyle \frac{3}{4^{n-1}}=\frac{b_n-4n}{n}}$
両辺に$n$をかけて、
$b_n-4n={\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}}$
$-4n$を移項して、
$b_n=4n+{\displaystyle \frac{3n}{4^{n-1}}}$
である。

次は$\{b_n\}$の和と見せかけて、それはただの前フリで、実は違うものを求める問題。

$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{c}_k}$とおき、$U_n$を求める。
式Ｂを$U_n$の式に代入して、
$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\frac{3}{4^{k-1}}}$
$U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}3k\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{k-1}}$
だけど、こんなΣの公式はない。

見にくいので、${\displaystyle \frac{1}{4}=r}$として書く。
$U_n=3r^0+6r^1+9r^2+$
       $\cdots +3(n-1)\cdot r^{n-2}+3n\cdot r^{n-1}$式Ｃ
どこかで見た形になった。（等差数列×等比数列）の和の問題だ。
なので、お約束の解き方をしよう。

式Ｃの両辺に$r$をかけて、
$r{U}_n=3\cdot r^1+6\cdot r^2+9\cdot r^3+$
       $\cdots +3(n-1)r^{n-1}+3n\cdot r^n$式Ｃ'

式Ｃから式Ｃ'を辺々引いて、
$U_n-r{U}_n=3\cdot r^0+(6-3)\cdot r^1+(9-6)\cdot r^2+$
              $\cdots +\{3n-3(n-1)\}\cdot r^{n-1}-3n\cdot r^n$
$U_n-r{U}_n$$=\underset{―}{3+3r+3r^2+\cdots +3r^{n-1}}-3n\cdot r^n$
下線部は、一般項$3r^{n-1}$、項数$n$の等比数列なので、
$U_n-r{U}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}3r^{k-1}-3n\cdot r^n}$
$r$をもとにもどして、
$U_n-{\displaystyle \frac{1}{4}{U}_n=\sum _{k=1}^{n}3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{k-1}-3n\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^n}$
問題文のマスに合う形になおして、
$U_n-{\displaystyle \frac{1}{4}{U}_n=\sum _{k=1}^n\frac{3}{4^{k-1}}-\frac{3n}{4^n}}$式Ｄ

解答チ：３, ツ：３

Σの公式から、式Ｄはさらに、
$U_n-{\displaystyle \frac{1}{4}{U}_n=3\cdot \frac{1-\frac{1}{4^n}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{3n}{4^n}}$
${\displaystyle (1-\frac{1}{4})U_n=3\cdot \frac{1-\frac{1}{4^n}}{\frac{3}{4}}-\frac{3n}{4^n}}$
${\displaystyle \frac{3}{4}{U}_n=3\cdot (1-\frac{1}{4^n})\cdot \frac{4}{3}-\frac{3n}{4^n}}$
$U_n=3{\displaystyle \cdot (1-\frac{1}{4^n})\cdot \frac{4^2}{3^2}-\frac{3n}{4^n}\cdot \frac{4}{3}}$
$U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{4^2}{3}-\frac{4^2}{3\cdot 4^n}-\frac{3n\cdot 4}{3\cdot 4^n}}$
$U_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{16}{3}-\frac{3n+4}{3\cdot 4^{n-1}}}$
となる。

解答テ：１, ト：６, ナ：３, ニ：３, ヌ：４, ネ：４