復習

倍角公式は、
$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$
$\cos 2\theta$$=2{\cos }^2\theta -1$
$\cos 2\theta$$=1-2{\sin }^2\theta$
${\displaystyle \tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$
だった。

よって、
${\displaystyle \sin \theta \cos \theta =\frac{\sin 2\theta }{2}}$
${\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{\cos 2\theta +1}{2}}$

これを
$f(\theta )=8\sin \theta \cos \theta +6{\cos }^2\theta$
に代入して、
$f(\theta )=8\left(\frac{\sin 2\theta }{2}\right)+6\left(\frac{\cos 2\theta +1}{2}\right)$
$f(\theta )$$=4\sin 2\theta +3(\cos 2\theta +1)$

解答ソ：４, タ：３

これをさらに変形して、
$f(\theta )=4\sin 2\theta +3\cos 2\theta +3$
三角関数の合成をすると、
$f(\theta )=5\sin (2\theta +\alpha )+3$⑤

解答チ：５

ただし、$\alpha$は
${\displaystyle \sin \alpha =\frac{3}{5},\cos \alpha =\frac{4}{5}}$ となる角。

解答ツ：３, テ：４

ここで、
$0{\displaystyle \leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$
なので、
$\alpha \leqq 2\theta +\alpha \leqq \pi +\alpha$
この範囲を単位円に書き込むと、図Ａのようになる。

図Ａより、$\sin (2\theta +\alpha )$は、
$2{\displaystyle \theta +\alpha =\frac{\pi }{2}}$のとき（図Ａの赤い点）
つまり、
${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}}$
のとき、
最大値$1$

解答ト：２

$2\theta +\alpha =\pi +\alpha$のとき（図Ａの青い点）
つまり
${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$
のとき、
最小値$-{\displaystyle \frac{3}{5}}$
である。

解答ナ：５, ニ：３, ヌ：５

以上より、
$-{\displaystyle \frac{3}{5}\leqq \sin (2\theta +\alpha )\leqq 1}$
各辺５倍して、
$-3\leqq 5\sin (2\theta +\alpha )\leqq 5$
各辺に$3$をたして、
$0\leqq 5\sin (2\theta +\alpha )+3\leqq 8$
⑤より$5\sin (2\theta +\alpha )+3=f(\theta )$なので、
$0\leqq f(\theta )\leqq 8$
である。

解答ネ：０, ノ：８

$f(\theta )=6$なので、⑤より、
$5\sin (2\theta +\alpha )+3=6$
$5\sin (2\theta +\alpha )=3$
${\displaystyle \sin (2\theta +\alpha )=\frac{3}{5}}$式Ａ

解答ハ：３, ヒ：５

アドバイス

ここから、問題文の流れでは計算のみで式Ａを解いている。そのため、
$\sin (\pi -x)=\sin x$

解答フ：２

のような話が出てきているが、私としては単位円のグラフで解く方がおすすめ。

式Ａの方程式をグラフで解く。

$\sin$は$y$座標なので、図Ａに$y={\displaystyle \frac{3}{5}}$の線を書き込んだのが、図Ｂ。

図Ｂより、$y={\displaystyle \frac{3}{5}}$の線と、単位円の緑の範囲の重なる部分(図中の赤い点の部分)が答。
なので、式Ａの方程式の答は、
$2\theta +\alpha =\alpha$ と $2\theta +\alpha =\pi -\alpha$
両辺から$\alpha$を引いて、
$2\theta =0$ と $2\theta =\pi -2\alpha$
両辺を２で割って、
$\theta =0$ と ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}-\alpha }$
である。

解答ヘ：０, ホ：２ （順不同）